Fórmula integral de regularización dimensional

Question

En la fórmula $$ \int \frac {d^{4-2 \epsilon } \ell } {(2 \pi )^{4-2 \epsilon }} \frac 1 {( \ell ^2- \Delta )^2} = \frac i {(4 \pi )^{2- \epsilon }} \Gamma ( \epsilon ) \left ( \frac 1 \Delta\right )^ \epsilon ,$$ ¿cómo debería tratar el caso cuando $ \Delta <0$ ?

Answer 1

Cuando veo números así, no creo que sean números honestos, realmente significan "más rápido", "mucho más rápido" y "mucho más rápido". Pero tomándolos en serio, si viajaras a 60 mph, 10% más rápido sería 66 mph (tomando 9.09% menos tiempo), 100% más rápido sería 120 mph (tomando 50% menos tiempo) y 1000% más rápido sería 660 mph (tomando 91.91% menos tiempo).

Answer 2

¿Por qué un peróxido no reaccionaría a través de la adición directa [ ]

Nadie dice que no, pero aparentemente no es una ruta productiva: no se han encontrado productos que resulten de tal ataque. En consecuencia, esta reacción, que no puede ser descartada, probablemente es reversible.

Sé que si el doble enlace no estuviera allí, atacaría directamente al carbonilo y entonces se produciría un reordenamiento [ ]

Cierto, pero el doble vínculo es allí.

Como resultado, el ataque a la $ \beta $ -carbono del enone, la formación de un enolato de hidroperoxia y la posterior formación del epóxido son aparentemente favorecidas.

Answer 3

Si $ \epsilon >0$ puedes empezar con una pequeña parte imaginaria en el denominador del integrando, $ \Delta - i \delta $ . Después de terminar el cálculo, se toma la limitación $ \delta \rightarrow 0^+$ . Entonces el resultado será

$ \displaystyle { \int \dfrac {d^{4- \epsilon }l}{(2 \pi )^{4- \epsilon }} \dfrac {1}{(l^2 - \Delta + i \delta )^2} = \dfrac {i}{(4 \pi )^{2- \epsilon }} \Gamma ( \epsilon ) \left ( \dfrac {1}{ \Delta -i \delta } \right )^{ \epsilon }, \delta \rightarrow 0^+}.$

Observe que el signo de $i \delta $ cambios debido a la rotación de la mecha. La razón por la que tenemos que poner $i \delta $ al denominador puede verse fácilmente desde

$ \left ( \dfrac {1}{ \Delta -i \delta } \right )^{ \epsilon } = 1 - \epsilon \ln \left ( \Delta - i \delta \right ) + O( \epsilon ^2), \delta \rightarrow 0^+.$

Si $ \Delta >0$ podemos ignorar $i \delta $ al principio. Pero si $ \Delta <0$ , $i \delta $ debe mantenerse en el denominador porque no hay una definición del logaritmo con el argumento negativo. Para el cálculo posterior, se necesitarán algunas relaciones útiles

$ln(z_1.z_2)= ln z_1 + ln z_2 + \eta (z_1, z_2)$ , $ \eta (z_1, z_2)= 2 \pi i [Im(- \theta (z_1))Im(- \theta (z_2))Im( \theta (z_1 z_2))-Im( \theta (z_1))Im( \theta (z_2))Im(- \theta (z_1 z_2))]$

donde $z_1, z_2$ son los números complejos y $ \theta $ es una función de signo. En los cómputos de un solo lazo de varias piernas, como la integral escalar de tres y cuatro puntos, el resultado dependerá de la función de Spence.