Encuentre a y b de$x^3+ax^2+bx−26=0$

Question

Estoy haciendo una practica de papeles y una de las preguntas es:

La ecuación cúbica $x^3+ax^2+bx−26=0$ $3$ positivo, distinto, entero raíces.

Encontrar los valores de $a$ $b$

El esquema de marca dice:

$3$ de las raíces se $1, 2, 13$. La ecuación es $x^3-16x^2+41x-26=0$

Supongo que esto tiene algo que ver con el teorema de factor cosa donde $x-a$ es un factor determinante si $f(a)=0$, pero con 3 incógnitas no entiendo cómo usted encuentra alguna de estas.

He intentado poniendo sólo $x$$1$:

$$ 1^3+a+b-26=0 $$ $$ a+b=25 $$ luego de hacer lo mismo con $2$: $$ 2^3+4a+2b-26=0 $$ $$ 4a+2b=18 $$ y después de subsituting las dos ecuaciones tengo la respuesta de una$a=-16$$b=41$. Sin embargo, me di cuenta de esto fue sólo por casualidad que estos números eran los factores (no trabajo con $x=3$ por ejemplo).

¿Cuál es la forma correcta de solucionar esto?

Answer 1

Si$p$,$q$,$r$ son raíces enteras positivas distintas de$P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 26$, entonces debemos tener$$(x-p)(x-q)(x-r) = x^3 - (p+q+r)x^2 + (pq+qr+rp)x - pqr = P(x),$$ hence equating the constant coefficient, $$pqr = 26 = 2 \cdot 13.$ $ Since the prime factorization of $26$ contains only $ 2$ and $ 13$, it immediately follows that there is only one unique solution (up to permutation) for this equation that satisfies the given conditions, namely $ \ {p, q, r \} = \ {1, 2, 13 \} $ en cierto orden. El resto sigue con facilidad.

Answer 2

Usando el Lemma de Gauss (también llamado Teorema de la raíz racional), las soluciones enteras sólo pueden ser factores de$26$, en este caso factores positivos. Esto nos deja con$1$,$2$,$13$ o$26$. Además, dado que las raíces son distintas y por la fórmula de Viete, su producto debe ser$26$, las raíces son por lo tanto$1$,$2$ y$13$. Así, de nuevo por la fórmula de Viete,$a=-16$ y$b=41$.

Answer 3

Aquí hay una pista: cada cúbico se puede factorizar de la siguiente manera:$$p(x) = (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ $ Usted sabe, a partir de lo dado, que$r_1$,$r_2$,$r_3$ son números enteros positivos distintos, y lo sabes $r_1r_2r_3 = 26$. Resulta que sólo hay un posible triple desordenado$(r_1, r_2, r_3)$ que satisface estas propiedades - ¿puedes mostrar esto?

Una vez que encuentre estas raíces, puede usar las de Vieta, como otros han mencionado, para encontrar los valores de$a$ y$b$.