¿Existe una función que satisfaga las siguientes propiedades $ f^{n}(x)=(f(x))^{n+1}$ ??

Question

¿Existe una función con las siguientes propiedades?

$$ f(x)=f(x) $$ $$ f'(x)=f(x)^2 $$

$$f^{(n)}(x)= \left (f(x) \right )^{n+1}$$ donde $f^{(n)}$ denota el $n$ el derivado, y por convención $f^{(0)}(x) = f(x)$ .

Answer 1

Podemos usar la regla de la cadena para mostrar que sólo hay una función de este tipo: $$ f'(x) = f(x)^2, $$ y diferenciar ambos lados y usar $f''=f^3$ : $$ f(x)^3 = f''(x) = 2f'(x)f(x) = 2f(x)^2f(x), $$ así que $f(x)^3=2f(x)^3$ así que $f(x) \equiv 0$ .

Answer 2

La función $x \mapsto 0: \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ es uno de ellos.