La ecuación de Onda es:
$$\nabla^2\psi(\mathbf{x},t)-\frac{1}{c}\frac{\partial^2 \psi(\mathbf{x},t)}{\partial t^2}=f(\mathbf{x},t)$$
La función de Green es entonces $$\nabla^2G(\mathbf{x},t)-\frac{1}{c}\frac{\partial^2 G(\mathbf{x},t)}{\partial t^2}=\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}')\delta(t-t')$$
El uso de la transformada de Fourier
$$(-k^2+\frac{\omega^2}{c})G(\mathbf{k},\omega)=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}'}e^{-i\omega t'}$$
Entonces
$$G(\mathbf{x},t)=\int_{\mathbb{R}^4}\frac{e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x}'-\mathbf{x})}e^{-i\omega(t'-t)}}{(-k^2+\frac{\omega^2}{c})}d^3k\,d\omega$$
Vamos a considerar sólo la integral en el espacio de frecuencia
$$I_{\mathbb{R}}=\int_{\mathbb{R}}\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)}d\omega$$
El integrando tiene dos polos en $\omega=\pm ck$ y tiene que ser resuelto usando el Teorema de los Residuos. Vamos a elegir el retraso de la solución ($t'<t$).
Si mi ruta ($\Gamma$) es sólo un cerrado semi-círculo de los polos no están dentro de la ruta, así que tengo dos opciones:
- Mover los polos: $\pm ck = \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\pm ck-i\varepsilon$ $\varepsilon\in \mathbb{R}^+$
- Añadir dos pequeños semicírculos de la ruta
Vamos a seguir el método (1) en primer lugar, la elección de la ruta con el semicírculo ($SC$) de cierre en la parte inferior plano complejo, su contribución es igual a cero.
$$I_{\Gamma}=I_{\mathbb{R}}+I_{SC}=I_{\mathbb{R}}=-2\pi i\left(\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},+ck\right)+\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},-ck\right)\right) \tag{a}$$
Pero si puedo mover los polos en el plano superior (es decir,$\pm ck = \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\pm ck+i\varepsilon$$\varepsilon\in \mathbb{R}^+$) no hay polos en el camino, por lo que
$$I_{\Gamma}=I_{\mathbb{R}}+I_{SC}=I_{\mathbb{R}}=0 \tag{b}$$
Siguiente método (2):
Si puedo elegir los pequeños semicírculos ($sc_\pm$) en el plano superior, a continuación, los polos están dentro de $\Gamma$ y, a continuación,
$$I_{\Gamma}=I_{\mathbb{R}}+I_{SC}+I_{sc_-}+I_{sc_+}=I_{\mathbb{R}}+I_{sc_-}+I_{sc_+}=-2\pi i\left(\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},+ck\right)+\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},-ck\right)\right)$$
así $$I_{\mathbb{R}}=I_{\Gamma}-I_{sc_-}-I_{sc_+}=-\pi i\left(\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},+ck\right)+\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},-ck\right)\right) \tag{c}$$
porque
$$ I_{sc_\pm} = -\pi i\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},\pm ck\right)$$
Si puedo elegir los pequeños semicírculos ($sc_\pm$) en el plano inferior, no hay polos en el interior de $\Gamma$ y, a continuación, me estoy poniendo de nuevo
$$I_{\mathbb{R}}=I_{\Gamma}-I_{sc_-}-I_{sc_+}=-\pi i\left(\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},+ck\right)+\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},-ck\right)\right) \tag{d}$$
porque en este caso
$$ I_{sc_\pm} = \pi i\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},\pm ck\right)$$
He continuación, encontró tres soluciones diferentes, el primero debe ser la correcta, pero ¿por qué? ¿Cómo puedo elegir? Estoy haciendo algo mal?
Tal vez esta analogía no debe ser hecho, pero la wikipedia afirma que en la resolución de Klein-Gordon ecuación (muy similar a la ecuación de onda) es la misma cosa para agregar un pequeño semicírculo alrededor de un poste o modificar el integrando la adición de una pequeña plazo $\varepsilon \to 0$ a los polos. ¿Por qué mi caso debe ser diferente?
