¿Por qué puede el conjunto cero de una colección de funciones holomórficas ser escrito como el conjunto cero de un número finito?

Question

He estado leyendo las primeras secciones de Griffiths y Harris, y afirman sin pruebas (sobre la mitad de la página 14 en mi 1994 Wiley Clásicos de la Biblioteca de la edición) que

el cero, el locus de una colección arbitraria de holomorphic funciones en un polydisc es, de hecho, dada por un número finito de holomorphic funciones en un pequeño polydisc.

Me gustaría saber cómo probar esto.

Si $\mathcal{O}_n$ denota el anillo de los gérmenes de holomorphic funciones de $0$ $\mathbb{C}^n$ entonces puedo mostrar (por inducción, el uso de la base de Hilbert y teorema de Weierstrass preparación teorema) que $\mathcal{O}_n$ es Noetherian, pero esto no es suficiente. De hecho, si $\{f_\alpha\}$ son holomorphic funciones en un polydisc $U$ sobre cero, entonces no existe $g_1, \ldots, g_k \in \mathcal{O}_n$ $(f_\alpha)=(g_i)$ y, la reducción de $U$ si es necesario, puedo conseguir que la puesta a cero de la $f_\alpha$ está contenida en el ajuste a cero de la $g_i$, pero no puedo ver cómo demostrar a la inversa de la inclusión.

Answer 1

Usted puede encontrar una prueba en el Capítulo IV, Sección D, Teorema 2 de Gunning y Rossi, funciones Analíticas de varias variables complejas. Que demuestren, con más fuerza, que si $f_{\alpha}$ es cualquier conjunto de holomorphic funciones en $U$, $p$ es cualquier punto de $U$ $m \geq 0$ es cualquier número entero, entonces existe un abierto vecindario $U'$ $p$ en el que el ideal de $(f_{\alpha})$ tiene un finitely libres generados por la resolución de la resolución de la longitud de la $m$. Usted necesidad justa de $m=1$.

A grandes rasgos, la prueba se desarrolla como sigue. Deje $V$ ser el cero, el locus de la $f_{\alpha}$. Por los resultados anteriores, se puede encoger $U$ y, a continuación, escriba $V$ $\bigcup V_i$ donde cada una de las $V_i$ es irreductible de la dimensión $d_i$. El proceso se reduce a demostrar el resultado para cada una de las $V_i$ por separado. Se contraería más allá y realizar un Noether la normalización como la transformación para cada una de las $V_i$, para obtener lo que ellos llaman la admisibilidad de una representación. En este punto, sólo se han reducido un número finito de veces, y son capaces de utilizar la factorización de Weierstrass, sin reducir aún más.

Es una dura prueba: 2.5 densas páginas que citan un número de sus grandes teoremas anteriores. Yo ciertamente no seguir cada detalle.