Existe una estrecha relación, aunque no perfecta entre algebraicas D-módulos en C^n, edificable poleas en C^n en la analítica, la topología, y \ell-ádico poleas en un n-dimensional espacio vectorial sobre un campo de característica p:
La formación de la gavilla de no-necesariamente-soluciones algebraicas para el sistema algebraico de ecuaciones diferenciales lleva a una clase de D-módulos (regular holonomic D-módulos) edificable gavillas, y en una manera apropiada derivada de la configuración de esta es una equivalencia de categorías. Esta es la de Riemann-Hilbert correspondencia.
Menos functorially, puede intentar encontrar una \ell-ádico modelo para su edificable gavilla en el espacio afín no C pero algo como el p-ádico enteros (que se puede incrustar en C), y reducir el mod p.
Muchas cosas pueden ir mal, pero hay comparación teoremas. Por ejemplo, hay una buena noción de "constante gavilla en una subvariedad" en los tres ámbitos, y tomando el cohomology de esta gavilla da una respuesta similar en los tres casos: este es el teorema de comparación entre de Rham, Betti, y \ell-ádico cohomology.
En todas las tres opciones que hay una operación que se llama transformada de Fourier. Una expresión algebraica D-módulo en C^n es un módulo sobre el álgebra de Weyl C[x,y,...,d/dx,d/dy,...], y su transformada de Fourier es el retroceso a lo largo del cambio de variables x --> -d/dx, d/dx --> x. En la configuración topológica tiene la transformada de Fourier-Sato/Kashiwara-Schapira de transformación, cuyo objetivo es gavillas en el real doble espacio vectorial de C^n. Y en característica p tiene la transformada de Fourier-Deligne de transformación, que implica la Artin mapa x^p - x de alguna manera.
Por tanto D-módulos y \ell-ádico gavillas, no hay ninguna restricción sobre el tipo de gavilla puede transformar. Pero puede tomar un D-módulo de regular las singularidades a uno sin singularidades, o tomar un \ell-ádico gavilla sin salvaje ramificación a uno con la naturaleza de ramificación. En la configuración topológica, sólo puede tomar la transformada de Fourier de poleas que son constantes a lo largo de los rayos desde el origen (normalmente debido a que estas poleas son C^*-equivariant), pero, a continuación, la nueva cosa es así-se comportó como el antiguo.
Me gustaría entender mejor cómo estas cosas están relacionadas, o lo que puede ir mal. Tal vez sólo tienen nombres engañosos-estoy bastante seguro de que el llamado de Fourier-Mukai transformar es un arenque rojo, aquí. Pero los he visto utilizar en la misma forma en Springer teoría: para la construcción de representaciones de grupos de Weyl en el cohomology (Betti o \ell-adic) de Springer fibras. Hay resultados de la comparación entre las diferentes transformaciones de Fourier?
PS Ben sugerencia es que no debe ser muy fuerte comparación teoremas si trabajamos con C^* o G_m-equivariant objetos en todos los ámbitos. Así, específicamente, la de Riemann-Hilbert correspondencia debe conmutar con la transformada de Fourier en C^*-equivariant holonomic D-módulos y construibles de las poleas. Es este un conocido y referencable resultado?
