Prueba de matemáticas hermosa "Simple"

Question

¿Hay una prueba matemática "simple" que es totalmente comprensible por 1 año estudiante universitario que le ha impresionado porque es hermoso?

Answer 1

He aquí un lindo y hermoso teorema.

Existen dos números irracionales $x,y$ que $x^y$ es racional.

Prueba. Si $x=y=\sqrt2$ es un ejemplo, entonces hemos terminado; de lo contrario $\sqrt2^{\sqrt2}$ es irracional, en cuyo caso toma $x=\sqrt2^{\sqrt2}$ y $y=\sqrt2$ nos da: $$\left(\sqrt2^{\sqrt2}\right)^{\sqrt2}=\sqrt2^{\sqrt2\sqrt2}=\sqrt2^2=2.\qquad\square$$

(Hoy en día, el uso de la Gelfond–Schneider teorema sabemos que $\sqrt2^{\sqrt2}$ es irracional, y de hecho trascendental. Pero la anterior prueba, por supuesto, no se preocupa por eso.)

Answer 2

¿Y la prueba de que

$$1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(1+2+\cdots+n\right)^2$$

Recuerdo que se impresiona por la identidad y la prueba puede ser dado en una imagen:

La foto está tomada de Brian Sears página web. Ver también aquí.

Edit: Sustituido $\frac{n(n+1)}{2}=1+2+\cdots+$ n en respuesta a los comentarios.

Answer 3

Argumento de Diagonalización de cantor, prueba que hay conjuntos infinitos que no se puede poner uno a uno con el conjunto de números naturales, es citado con frecuencia como una prueba bien simple pero potente. Esencialmente, con una lista de secuencias infinitas, una secuencia formada por tomar los números de la diagonal no estará en la lista.

Answer 4

Demostrar que si cada $n$ y $m$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados perfectos, por lo tanto puede su producto $nm$.

Prueba: Deje $n = a ^ 2 + b ^ 2$ y $m = c ^ 2 + d ^ 2$ ($a, b, c, d \in\mathbb Z$). Entonces, existe algún $x, y\in\mathbb Z$ tal que

$$ x + iy = (a+ib)(c+id)$ $

Tomando las magnitudes de ambos lados son cuadratura da

$$ x ^ 2 + y ^ 2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2) = nm$ $

Answer 5

Yo personalmente diría que la prueba que $$ \sqrt 2 es irracional es lo suficientemente simple como para un estudiante de Universidad (probablemente lo suficientemente simple como para un estudiante de secundaria) y muy guapa en su uso de la prueba por la contradicción!