Probabilidad $A$ es antes de $B$ cuando las 26 letras están dispuestas al azar

Question

Las 26 letras A, B, ... , Z están dispuestas en un orden aleatorio. [Equivalentemente, las letras se seleccionan secuencialmente al azar sin reemplazo].

a) ¿Cuál es la probabilidad de que A esté antes que B en el orden aleatorio?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que A esté antes que Z en el orden aleatorio?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que A esté justo antes que B en el orden aleatorio?

Cualquier ayuda será muy apreciada. Estaba pensando que para la parte c la respuesta sería $1/26$ porque tenemos $25!$ formas de tener A justo antes de B y $26!$ total de los arreglos. Sin embargo, no estoy seguro de cómo proceder con a y b.

Editar:

Gracias. Para las partes (a) y (b) ¿hay una manera más formal de obtener $1/2$ ? Como la fórmula del número total de formas que podemos tener $A$ antes de $B$ sobre el número total de arreglos? ¿Sería 25 elegir 1 ... 2 elegir 1 sobre $26!$ ya que podemos tener a en el primer lugar y B en cualquier lugar después de él? Entonces podemos tener a en el segundo lugar y B en cualquier lugar después de él. Además, para la parte (c), ¿no es $A$ tienen que venir inmediatamente antes de $B$ Así que la probabilidad no sería $1/26$ ?

Answer 1

A) Por simetría, la probabilidad de que $A$ viene antes que $B$ es igual a la probabilidad de que $B$ viene antes que $A$ y la suma de estos $2$ probabilidades es $1$ . Por lo tanto, la probabilidad de que $A$ viene antes que $B$ es $0.5$ .

b) Aquí $B$ se sustituye por $Z$ e intercambiando los papeles de $B$ y $Z$ se obtiene la misma probabilidad que en el caso (a): $0.5$ .

c) Si $A$ tiene que venir justo antes de $B$ , $B$ no debería ocurrir en el $1$ posición, que tiene una probabilidad de $25/26$ . Después de $B$ ha sido elegida (aparte de la $1$ posición), hay 25 posibilidades de posición justo antes de $B$ (todo excepto $B$ ) y sólo $1$ posibilidad es favorable (A viene antes que B). Por lo tanto, la probabilidad requerida es $(25/26)\cdot(1/25) = 1/26$ .

Answer 2

En la parte c), $A$ viene justo antes de $B.$ Considere un bloque $\boxed{\text{AB}}$ y tratarlo como UN objeto. Las otras letras son $C, D, E, \ldots , Z$ . En total, tienes 25 objetos: 24 letras y un bloque de dos letras juntas. Se pueden organizar en $25!$ formas en total. Como el número total de arreglos es $26!$ la probabilidad requerida es $$\dfrac{25!}{26!}=\dfrac1{26}$$

Consideremos ahora la parte a). Demostraremos formalmente que la probabilidad es $\dfrac12$

Para ello, consideraremos 26 casos.

Caso 1 \= B está en la primera posición.

Evidentemente, si $B$ está en la primera posición, entonces en ningún arreglo posible, A viene antes que B. Así, el número de camino A es anterior a B es $0$ para el primer caso.

Caso 2 \= B está en la segunda posición.

Para que A llegue antes que B, tiene que ocupar el primer lugar. A puede ocupar el primer lugar en $1$ manera. El resto de las 24 letras se pueden organizar en $24!$ formas. El número de formas A es anterior a B puede ocurrir es $1.24!$

Caso 3 \= B está en la tercera posición.

Para que A llegue antes que B, A puede ocupar las dos primeras posiciones. El número de formas en que A puede ocupar las dos primeras posiciones es $2.$ El resto de las 24 letras se pueden organizar de nuevo en $24!$ formas. Por lo tanto, el número de formas A es anterior a B sucede es $2.24!$

Caso 4 \= B está en la cuarta posición.

Ahora, por la misma lógica que antes, se puede decir que ocurrirá en $3.24!$ formas.

Del mismo modo, subimos a Caso 26 donde B viene en el $26^{th}$ es decir, la última posición.

Estos $26$ casos agota todas las disposiciones posibles. Al considerar todos los $26$ casos y sumando el número total de formas A es anterior a B puede ocurrir, obtenemos

$$0+1.24!+2.24!+\cdots 25.24! = 24!(1+2+\cdots 25)=24!*\dfrac{25.26}{2}=\dfrac{26!}{2} $$

Como el número total de arreglos es $26!$ la probabilidad de A es anterior a B en un orden aleatorio es $$\dfrac{26!/2}{26!}=\dfrac{1}{2}$$

Answer 3

Aquí hay una prueba de que la probabilidad en la parte (a) es 1/2. Es la misma que la de las respuestas de The Math Troll y chandu1729, pero con más detalles. Quiero enfatizar que realmente es una prueba, tan rigurosa como cualquier otra que puedas encontrar en un curso de introducción a la probabilidad, aunque no utiliza ninguna fórmula o cálculo complicado.

Digamos que dos arreglos son socios si al intercambiar las posiciones de A y B se convierte una en la otra. He aquí algunos ejemplos de arreglos que son socios:

AB CDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ y BA CDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ A EIOUY B CDFGHJKLMNPQRSTVWXZ y B EIOUY A CDFGHJKLMNPQRSTVWXZ THEQUICK B ROWNFXJMPSVL A ZYDG y THEQUICK A ROWNFXJMPSVL B ZYDG

Deberías ser capaz de convencerte de ello:

• Cada acuerdo tiene exactamente un socio.
• Si un acuerdo tiene A antes que B, su socio tiene B antes que A, y viceversa.

Ahora, alinee todos los arreglos en dos líneas, con cada arreglo de pie al lado de su pareja. Las líneas deben tener la misma longitud, porque cada arreglo tiene exactamente una pareja.

En cada par de parejas, dile al arreglo con A antes de B que se ponga a la izquierda, y al arreglo con B antes de A que se ponga a la derecha. Ahora, la línea de la izquierda tiene todos los arreglos con A antes de B, y la línea de la derecha tiene todos los arreglos con B antes de A. Como las líneas tienen la misma longitud, ¡es obvio que el número de arreglos con A antes de B y con B antes de A son iguales!

Esto significa que exactamente la mitad de los arreglos tienen A antes de B, y exactamente la mitad tienen B antes de A. Por lo tanto, si se elige un arreglo al azar, la probabilidad de obtener A antes de B es 1/2.

Puedes utilizar exactamente el mismo argumento para la parte (b).

Answer 4

La forma más sencilla de responder a estas preguntas:

a) What is the probability that A comes before B in the random order?

En la mitad de los casos A es anterior a B y en la otra mitad B es anterior a A, por lo que la respuesta es $\frac12$

b) What is the probability that A comes before Z in the random order?

En la mitad de los casos A es anterior a Z y en la otra mitad Z es anterior a A, por lo que la respuesta es $\frac12$

c) What is the probability that A comes just before B in the random order?

• El número total de permutaciones es $26!$

• Uniendo las letras A y B en un símbolo AB, el número total de permutaciones es $25!$

• Por lo tanto, la respuesta es $\frac{25!}{26!}=\frac{1}{26}$

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Una manera más "formal" de responder a la primera (y también a la segunda) pregunta:

• La probabilidad de que A esté en el primer puesto y B en los puestos 2 a 26 es $\frac{1}{26}\cdot\frac{25}{25}=\frac{25}{26\cdot25}$

• La probabilidad de que A esté en el 2º puesto y B en los puestos 3º a 26º es $\frac{1}{26}\cdot\frac{24}{25}=\frac{24}{26\cdot25}$

• La probabilidad de que A esté en el tercer puesto y B en los puestos 4 a 26 es $\frac{1}{26}\cdot\frac{23}{25}=\frac{23}{26\cdot25}$

• $\dots$

• La probabilidad de que A esté en el puesto 25 y B en el 26 es $\frac{1}{26}\cdot\frac{1}{25}=\frac{1}{26\cdot25}$

• Así que la probabilidad de que A llegue antes que B es $\sum\limits_{n=1}^{25}\frac{26-n}{26\cdot25}=\frac12$

Answer 5

A) Por simetría, hay tantas permutaciones con $A$ antes de $B$ como con $A$ después de $B$ .

$$p=\frac12$$

b) Por simetría, hay tantas permutaciones con $A$ antes de $Z$ como con $A$ después de $Z$ .

$$p=\frac12$$

c) Considere la $24!$ permutaciones de $CDE\dots Z$ . Puede insertar $AB$ en $25$ diferentes lugares para formar todas las configuraciones distintas. $$p=\frac{25\cdot24!}{26!}=\frac1{26}$$