Los polinomios delimitados por el argumento$[-1, 1]$ iff están en$[-1, 1]$

Question

Problema: $f(x)$ es un polinomio con coeficientes complejos, de tal manera que $-1 \leq f(x) \leq 1$ fib $-1 \leq x \leq 1$. Encontrar todos $f(x)$.

Mis observaciones: Ahora, es fácil ver que los coeficientes son reales, como podemos obtener los coeficientes de las soluciones del sistema de ecuaciones lineales con números reales. Ahora, el uso de continuidad (signo de la preservación de la propiedad) a la conclusión de que la $f(1)=1 \text{or} -1$$f(-1)=1 \text{or} -1$.

Con esta información, se ve bueno tener en cuenta $f(x)^2$ como somos capaces de decir algo concreto sobre esto en 1 y -1. Así que, me puse a $f(x)^2-1=(x^2-1)g(x)$. Para algunos polinomio $g(x)$.

También, claramente polinomios de Chebyshev de la primera clase que definitivamente el trabajo (me acaban de aprender acerca de los polinomios de Chebyshev). Pero no sé cómo commment sobre la existencia de más soluciones.

Mi intuición me dice que no debería ser infinitamente muchos polinomios como el gráfico fuera de la $[-1, 1]$ zona, es libre para ser cualquier cosa, siempre que sus más de uno en magnitud. Pero no sé si esto es correcto, como las gráficas de polinomios tiene otras restricciones sobre ellos.

También, estoy en la escuela secundaria, así que por favor no cosas como el análisis complejo (si es posible evitarlo, sólo una solicitud). Sé el cálculo de variable real.

Alguien por favor ayuda!!

Answer 1

Como he dicho anteriormente, dado que cualquier polinomio $f$ que está enlazado correctamente, podemos construir infinitamente más por la escritura $x^n f(x)$.

Por otra parte, dado $f,g$ que son a la vez enlazado correctamente, su producto $fg$ también será enlazado correctamente.

Ahora, para ver que no hay algún conjunto finito $\{f_0,f_1,...,f_n\}$ de manera tal que todos los otros polinomios obligado de esta manera son un producto de la $f_i's$, considere lo siguiente:

Es bien sabido que, dada $n$ puntos de un polinomio de grado $n-1$ puede ser "aptos" para ellos (construido de tal manera que pase a través de todos ellos). (Ver Interpolación De Lagrange). Considere la posibilidad de una $2$nd grado del polinomio (una parábola). Vamos a tratar de montar a través de tres puntos: $(-1,1),(1,1)$, e $(0,a)$ donde $a$ no es elegido todavía (pero $|a|<1$ va a ser cierto). A través de WolframAlpha, esto nos da el polinomio $$f(x)=(1-a)x^2+a$$

Tenga en cuenta que para $\|x\|\leq 1$ (e $0\leq a<1$), tenemos $\|f(x)\|=\|(1-a)x^2+a\|\underbrace{\leq}_{\Delta}\|1-a\|\|x^2\|+\|a\|\leq \|1-a\|+\|a\|\leq 1$

Aquí, el $\Delta$ es usado para denotar una aplicación de la Desigualdad de Triángulo, que dice que $\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|$. Es el llamado "Triángulo de la Desigualdad", porque si $x,y$ son las longitudes de dos lados de un triángulo, a continuación, $x+y$ es la longitud de la tercera (para algunos triángulo), y que el tercer lado debe ser inferior a la suma de las longitudes de los otros dos lados.

Por lo tanto, tenemos que $\|x\|\leq 1\implies \|f(x)\|\leq 1$. Ahora, suponga que $\|f(x)\|\leq 1$, lo $\|(1-a)x^2+a\|\leq 1$. Esto solo significa que $-1\leq (1-a)x^2+a\leq 1$, por lo que tenemos que $-1-a\leq (1-a)x^2\leq 1-a$, o que $\frac{a+1}{a-1}\leq x^2\leq 1$. Tenga en cuenta que este límite superior es buena, pero el $\frac{a+1}{a-1}\leq -1$, con igualdad de al $a=0$, por lo que necesitamos encontrar un límite inferior todavía. Afortunadamente, sabemos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, lo $x\in\mathbb{R}$, por lo que se deduce que el $x^2\in\mathbb{R}_{\geq 0}$, por lo que sabemos que $0\leq x^2\leq 1$, y por lo tanto se deduce que el $-1\leq x\leq 1$.

Así, sólo cuadrática funciones, hemos demostrado que, dado cualquier $a\in [0,1)$, hay una única función cuadrática tal que $f(0)=a$, e $f$ está delimitada de cómo usted quiere que sea. Como no hay un número finito de $a$, no tenemos un número finito de soluciones, con el fin de describirlas todas en términos de algún conjunto finito de funciones $\{f_0,f_1,...,f_n\}$ le parece imposible. Me imagino que usted podría mostrar cosas similares para polinomios de grado distinto de 2, y posiblemente por $a\in (-1,0)$.

Esencialmente, hay seguro infinidad de polinomios, y para obtener una mejor respuesta que usted necesita para plantear una más pregunta específica.