Path-Connected implica Connected sin saber que [0,1] está conectado

Question

Todos conocemos la clásica prueba de que una ruta conectada espacio topológico $X$ también está conectado. Voy a recordar brevemente, por lo que todos hablamos de lo mismo.

Deje $X$ ser una ruta conectada espacio topológico y asumir una contradicción que $X=A \cup B$ donde $A \cap B = \emptyset$ $A,B \neq \emptyset$ ($X$ no está conectado). Elegir $a \in A$, $b \in B$ Deje $\gamma: [0,1] \rightarrow X$ ser una ruta de acceso en $X$ tal que $\gamma(0)=a$, $\gamma(1)=b$. Entonces, por la continuidad de $\gamma$ hay una descomposición $$[0,1]=\gamma^{-1}(A) \cup \gamma^{-1}(B)$$ and this decomposition implies that $[0,1]$ is not connected, which is not true. Hence we conclude that $X$ no se puede trayectoria-conectado, si no está conectado.

Hay una prueba, la cual no utiliza la conexión de la $[0,1]$? Me gustaría un entretenido corto de prueba similar a la anterior, si usted sabe que uno. O es que hay una buena razón, ¿por qué la conexión de la $[0,1]$ debe ser esencial?

Answer 1

La conexión de la $[0,1]$ es claramente crucial, como puede ser visto por considerar qué pasaría si usamos algo más.

Deje $K$ ser cualquier espacio con dos distinguidos puntos de $p$$q$. Decir que un espacio de $X$ $K$- conectados si por cualquier $x,y\in X$ no es un mapa continuo $f:K\to X$ tal que $f(p)=x$$f(q)=y$. Si $K$ no está conectado, no hay razón para esperar que los $K$-conectividad de $X$ implica la conexión de $X$. Como un caso extremo, vamos a $K=\{0,1\}$ con la topología discreta: a continuación, cada espacio es $K$-conectado.