Funciones inversas y$u$ - Sustitución

Question

De vuelta en mi pregrado días me escribió una falsa prueba de la siguiente.

Problema. Demostrar que $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{dx}{1+e^{\sin{x}}}=\pi$

Prueba. La integración por partes da $$ \int_0^{2\pi}\frac{dx}{1+e^{\sin{x}}} = \left.\frac{x}{1+e^{\sin{x}}}\right\vert_0^{2\pi}+\int_0^{2\pi} x\cdot\frac{e^{\sin x}\cos{x}} {e^{\sin{x}}+1)^2}dx =\pi+\int_0^{2\pi} x\cdot\frac{e^{\sin x}\cos{x}} {e^{\sin{x}}+1)^2}dx $$ Tomando $u=\sin x$ en la última integral da $$ \int_0^{2\pi} x\cdot\frac{e^{\sin x}\cos{x}} {e^{\sin{x}}+1)^2}dx =\int_0^0\arcsen u\frac{e^u} {e^u+1)}du=0 $$ y la combinación de las dos ecuaciones da el resultado. $\Box$

Por supuesto, el problema con esta prueba es que la ecuación de $x=\arcsin u$ sólo es válido en $[0,\pi/2]$. Sin embargo, $\sin{x}$ es invertible en los intervalos de $[\pi/2,3\pi/2]$$[3\pi/2,2\pi]$, por lo que parece que este problema puede evitarse mediante la división de la integral en tres de las integrales y la aplicación individual de la $u$-sustitución.

Puede que esta prueba se pueden salvar?

Edit: soy consciente de que hay otras formas de demostrar este resultado. Estoy preocupado principalmente por la validez de esta prueba.

Edit: he votado en ambas respuestas, ya que dan a corregir las pruebas. No he aceptado una respuesta, sin embargo, porque ninguno de los dos se aborda el problema de dividir un noninvertible en función de separar las integrales donde la función es invertible, que era mi principal razón para la publicación de esta pregunta.

Answer 1

Cálculo de la integral original $$\int_{0}^{2\pi}\frac{dx}{1 + e^{\sin x}}$$ can be done directly using the hint from lab bhattacharjee. I believe you would want to have a proof that the complicated integral $$I = \int_{0}^{2\pi}x\frac{e^{\sin x}\cos x}{(1 + e^{\sin x})^{2}}\,dx = 0$$

Para ello vamos a aplicar la sugerencia (de nuevo) de laboratorio bhattacharjee para obtener $$I = \int_{0}^{2\pi}(2\pi - x)\frac{e^{\sin x}\cos x}{(1 + e^{\sin x})^{2}}\,dx$$ so that by adding these two equivalent forms of $yo$ we get $$I = \pi\int_{0}^{2\pi}\frac{e^{\sin x}\cos x}{(1 + e^{\sin x})^{2}}\,dx = \pi\left(\int_{0}^{\pi}\frac{e^{\sin x}\cos x}{(1 + e^{\sin x})^{2}}\,dx + \int_{\pi}^{2\pi}\frac{e^{\sin x}\cos x}{(1 + e^{\sin x})^{2}}\,dx\right)$$ or $I = \pi(I_{1} + I_{2})$.

Ahora podemos poner $t = x - \pi$ en la segunda integral de la $I_{2}$ para obtener $$I_{2} = -\int_{0}^{\pi}\frac{e^{\sin t}\cos t}{(1 + e^{\sin t})^{2}}\,dt = -I_{1}$$ It now follows that $I = \pi(I_{1} + I_{2}) = 0$.

Actualización: Después de la edición por el OP, es claro que lo que aquí se necesita es aplicar la sustitución de $u = \sin x$ y, a continuación, mostrar que la integral de la $I$$0$. Como se ha mencionado en su pregunta esto necesitaría un dividida en tres integrales en el rango de $[0, \pi/2], [\pi/2, 3\pi/2]$$[3\pi/2, 2\pi]$. Después de la sustitución de los intervalos de cambio de a$[0, 1], [-1, 1]$$[-1, 0]$. Haciendo esta sustitución se encuentra con que la integral es igual a $$I = I_{1} + I_{2} + I_{3} = \int_{0}^{1}\frac{e^{u}\arcsin u}{(e^{u} + 1)^{2}}\,du - \int_{-1}^{1}\frac{e^{u}(\pi + \arcsin u)}{(e^{u} + 1)^{2}}\,du + \int_{-1}^{0}\frac{e^{u}(2\pi + \arcsin u)}{(e^{u} + 1)^{2}}\,du$$

Tenga en cuenta que en el intervalo de $[0, \pi/2]$ la función de $u = \sin x$ aumenta y, por tanto, la asignación de $\sin x = u$ puede ser invertida por $x = \arcsin u$ y mapas de $[0, \pi/2]$ a $[0, 1]$. En el intervalo de $[\pi/2, 3\pi/2]$ la función de $u = -\sin x$ aumenta y el inverso ocurre en uso $x = (\pi + \arcsin u)$ y desde $-\cos x \, dx = du$ podemos obtener un $-$ signo de la integral. De nuevo en el intervalo de $[3\pi/2, 2\pi]$ la función de $\sin x$ aumenta y la correcta inversa es $x = 2\pi + \arcsin u$. Ya que la función $e^{u}/(e^{u} + 1)^{2}$ es aún tenemos $$\begin{aligned}I &= \int_{-1}^{0}\frac{e^{u}\arcsin u}{(e^{u} + 1)^{2}}\,du + \int_{0}^{1}\frac{e^{u}\arcsin u}{(e^{u} + 1)^{2}}\,du - \int_{-1}^{1}\frac{e^{u}\arcsin u}{(e^{u} + 1)^{2}}\,du\\ &\,\,\,+\,\,2\pi\int_{-1}^{0}\frac{e^{u}}{(e^{u} + 1)^{2}}\,du - \pi\int_{-1}^{1}\frac{e^{u}}{(e^{u} + 1)^{2}}\,du = 0\end{aligned}$$

Answer 2

No estoy seguro de cómo has llegado a$$\left.\frac{x}{1+e^{\sin{x}}}\right\vert_0^{2\pi}=\pi$ $

Aquí hay otra manera:

ps

ps

utilizando$$\text{Use }I=\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$ $