Descomposición parcial de la fracción de Ramanujan de$\frac{1}{(x^2+a^2)\cdots(x^2+(a+n)^2)}$.

Question

El anterior fue de Ramanujan, apareciendo en uno de sus cuadernos. ¿Cómo se demuestra esto?

Especialmente interesante es motivar la prueba: dado sólo la fracción completa a la izquierda, ¿hay un método que hace que el lado derecho sea casi inmediatamente obvio? (Básicamente, sería bueno si las respuestas imaginaban que el RHS no existía en la ecuación anterior).

Answer 1

Dado que tanto la izquierda y la derecha lados, en términos de $x^2$ podemos cambiar las variables de a $X = x^2$. Este es un caso especial de la cuestión de encontrar el parcial de la fracción de expansión $$ \frac1{(X+A_1)(X+A_2)\cdots(X+A_n)} = \sum_{i=1}^n \frac{C_i}{X+A_i} $$ para cualquier distintos $A_1,A_2,\ldots,A_n$. La forma más fácil de encontrar $C_i$ es multiplicar ambos lados por $X+A_i$ y, a continuación, para evaluar a $X = -A_i$. En el lado derecho de esta aislamientos $C_i$. En el lado izquierdo tenemos el producto a través de $j \neq i$$1/(A_j-A_i)$. Por lo $C_i$ debe ser igual a este producto.

En el presente caso, de cada una de las $A_i$$(a+i)^2$, por lo $A_j-A_i = (a+j)^2 - (a+i)^2$, los factores que en mayor medida como $(j-i)(2a+j+i)$. El producto de esto, más de $1 \leq j \leq n$ excluyendo $j=i$ puede entonces ser expresar de diversas maneras, en términos de factoriales y funciones Gamma, uno de los cuales los rendimientos de Ramanujan.