Una pregunta sobre el conjunto de medidas

Question

Suponga que una secuencia de conjuntos$\{A_n:n\in \Bbb N\}$ está aumentando, y$A=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$. Si$A$ es medible,$\mu(A)\gt 0$ y$\mu$ es una medida sin atributos, ¿existe un$n\in \Bbb N$ y un conjunto mensurable$B$ y$B\subset A_n$.

Answer 1

Si usted acepta el axioma de elección, entonces la construcción de Vitali da un ejemplo contrario.

Es decir, considerar la unidad de intervalo de $X:=[0,1)$ con la medida de Lebesgue $\mu$. Para $a,b\in X$, vamos a escribir $a\sim b$ si $a-b$ es racional. A continuación, $\sim$ es una relación de equivalencia y particiones $X$ en partes disjuntas. Elegir un conjunto $C\subseteq X$ que contiene exactamente un elemento de cada parte de esta partición (usando el axioma de elección). Ahora los cosets $q+C \pmod{1}$ ($q\in X$ racional) son distintos y forma otra partición de $X$. Esta nueva partición tiene un conteo del número de partes que son traducciones de uno a otro.

Deje $q_1,q_2,\ldots$ ser una enumeración de los racionales en $X$ y establezca $C_i:=q_i+C$. Deje $A_n:=\bigcup_{i=1}^n C_i$. Por eso, $\{A_n\}$ es creciente y $A:=\bigcup_{n=1}^\infty A_n=X$, por lo tanto $\mu(A)=1>0$. Ahora, supongamos que el $B\subseteq A_n$ es un conjunto medible con $\mu(B)>0$. Deje $B_k:=q_k+B \pmod{1}$ ser las traducciones de $B$ por racionales. Por la traducción de la invariancia de la medida de Lebesgue, todos los conjuntos de $B_k$ deben tener la misma medida positiva $c:=\mu(B)>0$. Esto le da a $\sum_{k=1}^\infty \mu(B_k)=\infty$. Por otro lado, cada elemento de a $X$ aparece en la mayoría de los $n$ elementos de la secuencia $\{B_k\}$, lo que implica $\sum_{k=1}^\infty \mu(B_k)\leq n\mu(X)=n<\infty$. Tenemos una contradicción, lo que significa que no hay tal juego $B$ puede existir.

Answer 2

Creo que esto debería funcionar, si los$A_i$ son todos medibles. Puede encontrar una colección equivalente$A_n'$ para que los$A_n'$ sean disjuntos por parejas y$\cup A_n' =\cup A_n$. Entonces $m(\cup A_n')>0= \Sigma m(A_n')>0; m(A_i)\geq 0 \forall i$. Entonces$A_n'$ mst tiene una medida diferente de cero.