Encontrar primos de Gauss a lo largo de líneas en $\mathbb Z[i]$

Question

Intento demostrar la siguiente afirmación:

Para todos los números enteros positivos $a$ ¿existe un número entero positivo $b$ tal que $a^2 + b^2$ es primo? (Si es así, ¿podemos proporcionar tal $b$ ?)

Dada la conexión entre los primos de esta forma y los primos de Gauss, el problema anterior conduce al lema:

Dado un número entero positivo $a$ ¿existe un número entero positivo $b$ tal que $a+bi$ es un primo de Gauss. (Si es así, ¿podemos proporcionar tal $b$ ?)

Basándose en las imágenes generadas de los primos de Gauss, como las que se muestran en Un paseo por los primos de Gauss parece que esta afirmación es cierta. (Las imágenes sugieren que cada línea vertical en $\mathbb{Z}[i]$ contiene al menos un primo de Gauss).

Mi planteamiento actual, que es un tanto arriesgado, es el siguiente: un entero gaussiano $z = a+bi$ es un primo de Gauss si y sólo si $N(z) := a^2 + b^2$ es primo. Dado algún $a$ consideremos los enteros gaussianos

$$z_n = a + ni, \quad n=0, \ldots, a,$$

y las normas correspondientes

$$N_n := N(z_n) := a^2 + n^2, \quad n=0, \ldots, a.$$

Estas normas oscilan entre $N_0 = a^2$ et $N_a = 2a^2$ . Por el postulado de Bertrand, existe algún primo $p$ dentro de ese rango de normas. La parte que esperaba que se pudiera probar es que existe algún primo $p$ tal que $p = N(z_n)$ para algunos $n$ .

Por último, aquí hay un poco de código Python que demuestra que esto es cierto para $a = 1, \ldots, 100000$ :

%pylab
from sympy import isprime
from itertools import ifilter

def find\_b(a):
    """Returns smallest b such that a^2 + b^2 is prime."""
    f = lambda b: isprime(a\*\*2 + b\*\*2)
    g = ifilter(f, itertools.count())
    b = g.next()
    return b

a = range(1, 100000)
b = map(find\_b, a)

plot(a,b,'b.')

Answer 1

Se trata de un problema excepcionalmente difícil. Por ejemplo, la conjetura de Landau:

" Hay un número infinito de primos de la forma $n^2+1$ "

sigue siendo una conjetura.

Iwaniec, Friedlander y Heath-Brown han demostrado que existe un número infinito de primos de la forma $a^2+b^4$ et $a^3+2b^3$ a través del tamiz asintótico de Bombieri, mientras que Tao ha demostrado la existencia de constelaciones primitivas de forma arbitraria en $\mathbb{Z}[i]$ .

Su conjetura es muy probable que se mantenga: sin embargo, también es extremadamente difícil de abordar.