$x^2+1=0$ en $\mathbb{Z}_7$

Question

$x^2+1=0$ en $\mathbb{Z}_7$

Probando cada número, veo que no hay solución, ¿es esto correcto?

Y podrían ayudarme con una solución más directa, ya que este método no va a funcionar para $\mathbb{Z}_p$ cuando $p$ es un número primo grande .

¡Muchas gracias!

Answer 1

Es un teorema estándar demostrado al principio del estudio de las congruencias cuadráticas que la congruencia $x^2+1\equiv 0\pmod{p}$ tiene solución si el primo $p$ es de la forma $4k+1$ y no tiene solución si $p$ es de la forma $4k+3$ .

Answer 2

Tal vez una solución más general: Euler dio la caracterización de que $a$ es un mod "cuadrado". $p$ con $p$ primo si y sólo si $a^\frac{p-1}{2} \equiv 1\ \text{mod}\ p$ . En su ejemplo vería que $(-1)^\frac{7-1}{2} = (-1)^3 = -1 \not\equiv 1\ \text{mod}\ 7$ .

Por supuesto, la elaboración de este poder no es tan fácil para las empresas más grandes. $p$ para ello, debería consultar reciprocidad cuadrática .