Hermoso problema en una progresión

Question

$\{x_n\}$ es una secuencia definida como sigue:

$x_1=20,\quad x_2=14,\quad x_{n+2}=x_n - \frac{1}{x_{n+1}}$.

Demuestre que$0$ está entre los miembros de esta secuencia. Encuentra su número.

He probado algunas cosas durante bastante tiempo, creo que se ha resuelto usando límites, pero no puedo solucionarlo.

Answer 1

$$\requieren{cancel}\begin{align} x_{n+2}&=x_n-\frac 1{x_{n+1}}\\ x_{n+1}x_{n+2}&=x_n x_{n+1}-1\\ \end{align}$$

Dado que el$x_1=20$$x_2=14$, tenemos $$\begin{align} x_1 x_2&=280\\ x_2 x_3&=279\\ x_3 x_4&=278\\ \vdots &= \vdots\\ x_{280} x_{281}&=1\\ x_{281} x_{282}&=0\\ \end{align}$$

Por lo tanto $$x_{282}=0$$

es decir, $x_n=0$ al $n=282$.

NB - técnicamente, la serie no está definida para $n>282$ porque $x_{283}$ $\frac 10$ plazo; sin embargo, si se acepta que el $\frac 10=\infty$$\frac 1\infty=0$, entonces cada término después de la $282^{\text{nd}}$ es cero. Un problema interesante, aunque.

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Además para mi la solución anterior, esto es en respuesta a la solicitud de expresar $x_n$ explícitamente.

Podemos ver que $$\begin{align} x_1=20&, x_2=14\\ x_3=\frac {279}{14}&, x_4=14\cdot \frac{278}{279}\\ x_5=\frac{277}{278}\cdot \frac{279}{14}&, x_6=14\cdot \frac{278\cdot 276}{279\cdot 277}\\ x_7=\frac{277\cdot 275}{278\cdot 276}\cdot \frac{279}{14}&, x_8=14\cdot \frac{278\cdot 276\cdot 274}{279\cdot 277\cdot 275}\\ \vdots &,\vdots \end{align}$$ por lo tanto, $x_n$ puede ser definido explícitamente, dependiendo de si $n$ es par o impar, es decir, $$x_{2m}=14\cdot \frac{\prod_{r=0}^{m-2}278-2r}{\prod_{r=0}^{m-2}279-2r}$$ y $$x_{2m+1}=\frac{279}{14}\cdot \frac{\prod_{r=0}^{m-2}277-2r}{\prod_{r=0}^{m-2}278-2r}$$ donde $m\geq 2$.

Answer 2

Insinuación: $x_{n+2} x_{n+1} = x_{n+1} x_{n} - 1$.