Si todas las subsecuencias propias convergen al mismo límite, entonces la secuencia converge.

Question

Dejemos que $\{X_n\}_n$ sea una secuencia acotada. Sus subsecuencias propias convergentes convergen al mismo límite $\ell$ . Quiero demostrar que $\{X_n\}_n$ converge a $\ell$ .

Obsérvese que las subsecuencias propias son todas las secuencias excepto la propia secuencia. ¿Es suficiente decir que $\{X_{2n}\}$ y $\{X_{2n+1}\}$ son convergentes a $l$ entonces $\{X_n\}$ es convergente a $\ell$ ?

Answer 1

Prueba por contradicción

Supongamos que $\{X_n\}$ no converge a $\ell$ . Entonces, hay $\varepsilon_0>0$ tal que $$\forall N\in\mathbb N,\exists n=n(N) : n>N~and ~ |X_n -\ell|>\varepsilon_0 $$

Para $N_1=1$ existe $n_1$ tal que $$n_1>N_1 ~and ~ |X_{n_1} -\ell|>\varepsilon_0 $$ Tomando sucesivamente $N_{k+1}> \max\{N_k, n_k,k+1\}$ existe $n_{k+1}>N_{k+1}$ tal que,

$$ |X_{ n_{k+1}} -\ell|>\varepsilon_0 $$

Es fácil comprobarlo, $\{X_{ n_k}\}_k$ es una sucesión de $\{X_{ n}\}_n$ desde $$ n_k< n_{k+1} \quad i.e \text{the map }k\mapsto n_k~~~\text{Is one-to-one}$$

Sin embargo, $$\forall k,~~ |X_{ n_{k}} -\ell|>\varepsilon_0 \qquad \text{and}~\{X_{ n_{k}} \}~\text{is bounded} $$

Por lo tanto, por Teorema de Bolzano-Weierstrass existe $\{X_{ n_{k_p} }\}_p$ subsecuencia de $\{X_{ n_{k} }\}_k$ que converge a algún límite $\ell_1 $ pero $\{X_{ n_{k_p} }\}_p\to \ell_1$ es también una subsecuencia convergente de $\{X_n\}_n$

Por supuesto, $\ell=\ell_1$ que es junto con el hecho $\{X_{ n_{k_p} }\}_p$ es una sucesión de $\{X_{ n_{k} }\}_k$ tenemos

$$0=\lim_{p\to\infty } |X_{ n_{k_p} }-\ell|>\varepsilon_0>0~~~\text{which is a CONTRADICTION}$$

Tenga en cuenta que $$\forall p,|X_{ n_{k_p} }-\ell|>\varepsilon_0$$ Desde $$\forall k,|X_{ n_{k}} -\ell|>\varepsilon_0$$