Expresión Integral confuso: $\int{\frac{1}{x+\sqrt{x^2-x+1}}dx}$

Question

Tengo esta expresión integral a evaluar:

$$\int{\frac{1}{x+\sqrt{x^2-x+1}}dx}$$

Yo he seguido estos pasos:

1. Completar el cuadrado en $x$ y luego sustituido $u=x-\frac{1}{2}.$

2. Trig sustituir $u = \frac{\sqrt{3}}{2}\tan t.$ y luego simplifica la ecuación dando así:

$$\int{\frac{\sqrt{3}\sec^2t}{\sqrt{3}\tan t+\sqrt{3}\sec t+1}dt}$$

Sé hasta este, pero tengo claro qué hacer. No dude en corregirme si me equivoco.

Answer 1

Sugerencia

Empezar a considerar el integrando como $$\frac{1}{x+\sqrt{x^2-x+1}}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-x+1}}\times\frac{x-\sqrt{x^2-x+1}}{x-\sqrt{x^2-x+1}}$ $ $$\frac{1}{x+\sqrt{x^2-x+1}}=\frac{x-\sqrt{x^2-x+1}}{x-1}=\frac x {x-1}-\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x-1}$ $