En la preparación para un examen, estoy revisando viejas preguntas del examen. Este parece bien, pero también muy complicado:
Un balón de fútbol con el Radio de $R=11cm$ se infla a una presión de $P =9 \times 10^4 Pa$, luego se deja caer desde una altura de $0.1m$ (distancia del piso a la parte más baja de la bola) sobre un piso duro y rebota elásticamente.
Pregunta: Encontrar expresiones aproximadas para:
- Área de la superficie de la bola en contacto con el suelo
- Cantidad de tiempo que la pelota está en contacto con el suelo
- El pico de la fuerza ejercida sobre el suelo
si la masa es $0.42 kg$.
Mi intento de solución: se supone que el balón se llena con un gas ideal y que el proceso es adiabático. Suponer que la deformación conduce a un simple esférica segmento, es decir, una bola donde una parte se corta plana. Esto le da una expresión del volumen $V$ en términos de la altura de la "centro" de la pelota, $h$ $$V = \frac{11}{6}\pi R^3 + \frac{\pi}{6}h^3$$ El área de la superficie, a continuación, es simplemente $$A = \pi (R^2 - h^2)$$.
Siguiente: La pelota tiene energía potencial $mgh_0$, que se convierte completamente en energía interna en el punto máximo del movimiento. La energía interna de un gas ideal es $$U = 3/2 N kT = 3/2 PV = 3/2 P_0 V_0^\gamma V^{1-\gamma}$$ donde $\gamma$ es el coeficiente adiabático (1.4 para el aire).
El cambio en $U$ debido a un cambio en el $V$, a continuación, sale completamente de la energía potencial inicial $E$. Algunos de álgebra y algunos sensato binomic aproximaciones luego producir una expresión simple para el área de la superficie de $$A = \frac{32 mgh}{9 V_0 P_0 (\gamma - 1)}$$.
El uso de $F = PA$ me permite calcular la fuerza máxima.
Pero ¿y el tiempo de contacto? Mi primera suposición era para aproximar $F(t)$ como un triángulo de la curva que va de 0 a $F_{max}$ y de vuelta a $0$ y, a continuación, utilizar ese $F$ es igual a cambio en el momento en el tiempo, $dp = Fdt$, que en este caso sencillo, significaría el cambio total en el impulso, $\delta p$, sería igual a $1/2 F_{max} \delta t$. Puedo calcular el impulso inicial a partir de la inicial de la energía potencial, y dado que el proceso es elástica, el cambio en el momentum es (menos) dos veces ese valor. Entonces yo sé todo lo que para calcular el $\delta t$.
Sin embargo, estoy seguro de si puedo aplicar esta ley sobre el impulso del todo, ya que yo no estoy hablando de un simple punto de masa aquí, más bien, un montón de moléculas de gas confinado en un volumen determinado. Esta es también la razón de que mi enfoque estándar de la mecánica de las preguntas, es decir, la mecánica de Lagrange, no parece funcionar: Un simple coordinar describir el proceso completo sería $h$, pero lo que es la cinética plazo en términos de $h$?
EDITAR Me acabo de dar cuenta que mi fórmula para el casquete esférico que está mal, y un poco más complicado de lo que yo quería: Si $h$ es la distancia desde el centro de la esfera a la base de la tapa, el volumen se convierte en $$V = \frac{2}{3} R^3 - hR^2 + \frac{h^3}{3}$$
Si puedo mantener la presión constante, el trabajo necesario para un cambio de volumen es $P \Delta V$, de modo que se puede equiparar: $$\Delta V = E_0 / P$$ donde $E_0 = mgh$ es la inicial de la energía potencial de la pelota.
El único problema es que tengo un tercer orden de la ecuación de $h$ que, a mi parecer, es demasiado complicado de resolver. Pero vamos a ver... vamos a $d = R - h$, entonces tenemos $V == Rd^2 - d^3/3$ y ahora suponemos que $d \ll R$, de modo que tenemos $V \approx Rd^2$.
A continuación, tenemos el área de la superficie, $A = \pi (R^2 - h^2) = \pi (R^2 - (R-d)^2) \aprox 2\pi R d$ where we again use $R \gg d$.
Conectar algunos números da $A \approx 44 cm^2$ lo que equivale a un radio de el casquete esférico de aprox $3.7cm$.
El pico de la fuerza de $F_{max}$ es sólo $AP \approx 401 N$.
Suponiendo que la fuerza que crece linealmente con el tiempo hasta $F_{max}$ es alcanzado y luego cae linealmente a $0$, el total de cambio en el momento sobre el tiempo de contacto $\Delta t$ es $\Delta p = 1/2 F_{max} \delta T$. El cambio en el momento es de dos veces el impulso inicial, por lo que es $$\Delta p = 2\sqrt{2mE_0} = 1/2 * 2\pi \sqrt{E_0 R P} \Delta t,$$ que podemos resolver por $\Delta t$ obtener $\Delta t \approx 9 ms$.
Eso suena razonable para mí.
