$$2\sin x + 3\cos x = 3$$ Parecía fácil al principio pero no tengo ni idea de cómo determinarlas. Intenté sustituir el 3 por $3(\sin^2 x + \cos x^2x)$ Pero no funciona. También he intentado cambiar de lado de casi todo y no hay suerte. ¡Por favor, ayuda!
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HINT
Tienes dos ecuaciones $$ 2\sin(x) + 3\cos(x) = 3\\\sin(x)^2+\cos(x)^2 = 1.$$
Tal vez para mayor claridad, sustituir $\sin$ con $y$ y $\cos$ con $x$ por lo que tiene $$ 2y+3x = 3 \\x ^2 + y^2=1.$$
Una de estas cosas es una línea y otra es un círculo... encuentra dónde se cruzan. (Pista adicional: una de ellas es trivial y la otra no tanto).
Esto dará los posibles valores de $\sin(x)$ y $\cos(x)$ que es lo que has pedido, pero si quieres los posibles valores de $x$ habrá un número infinito correspondiente a cada una de las soluciones anteriores debido a la periodicidad.
Michael Hardy
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\begin{align} 2\sin x + 3\cos x & = \sqrt{2^2+3^2} \left( \frac 2 {\sqrt{2^2+3^2}} \sin x + \frac 3 {\sqrt{2^2+3^2}} \cos x \right) \\[10pt] & = \sqrt{13} (\cos\alpha\sin x + \sin\alpha \cos x) \\[10pt] & = \sqrt{13} \,\sin(\alpha+x) = 3. \\[12pt] \frac 3 {\sqrt{13}} & = \sin(\alpha+x). \end{align} Desde $3/\sqrt{13} < 1,$ esto puede resolverse.
Desde $\sin\alpha/\cos\alpha = 3/2,$ el número $\alpha$ debe ser un número cuya tangente es $3/2$ y cuyo seno y coseno son positivos, es decir, en el primer cuadrante.
Bernard
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Una pista:
Se puede reescribir la ecuación como \begin{align} 2\sin x +3\cos x=3&\iff 2\sin x=3(1-\cos x)\iff 4\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2=6\sin^2\dfrac x2\\[1ex] &\iff\begin{cases} \sin \dfrac x2=0\\\;\text{ or}\\[-2ex]2\cos\dfrac x2=3\sin \dfrac x2 \end{cases}\iff\begin{cases} \sin \dfrac x2=0\\\\\\\Nde texto{o}[-2ex]\tan\dfrac x2=\dfrac23 \fin{conocimiento} de los casos{y} de los problemas. \begin{cases} \dfrac x2\equiv 0 \pmod\pi\\\;\text{ or}\\[-2ex]\dfrac x2\equiv\arctan\dfrac23\pmod{\pi} \end{cases}\iff\begin{cases} \fin{conocido} por el nombre de la empresa.
