Una conjetura con respecto a los valores propios de matrices simétricas reales

Question

Es bien sabido que las soluciones de $$|M-\lambda I|=0$$ son puramente real si $M$ es real simétrica.

Conjetura Esto sigue siendo cierto si reemplazamos la identidad de la matriz por una matriz diagonal $D$ cuyas diagonales son los elementos $0$ o $1$:

$$\left. \begin{matrix}|M-\lambda D|=0 \\ M\text{ is real symmetric}\\M\text{ and }D\text{ do not have a common nullspace}\end{matrix}\right\}\implies \lambda \in \mathbb{R}\text{ (if a solution exists)}$$

Parcial de la prueba

Sin pérdida de generalidad podemos suponer $$D=\text{diag}(1,1,\cdots,1,1,0,0,\cdots,0,0)$$

Si $M$ es simétrica, $$|M-\lambda D|=\left|\begin{matrix}M_1-\lambda I & M_2 \\ M_2^T & M_3\end{matrix}\right|$$ con $M_1,M_3$ simétrica. Si $M_3$ es invertible, $$\left|\begin{matrix}M_1-\lambda I & M_2 \\ M_2^T & M_3\end{matrix}\right|=|M_3||M_1-M_2 M_3^{-1}M_2^T -\lambda I|$$ $|M_3|\neq 0$ por hipótesis, por lo que $$|M-\lambda D|=0\implies |M_1-M_2 M_3^{-1}M_2^T -\lambda I|=0$$ por lo tanto $\lambda$ es un autovalor de la matriz simétrica $M_1-M_2 M_3^{-1}M_2^T$, y por lo tanto es real.

Pregunta

Lo que si $M_3$ no es invertible? La condición de que $M_3$ es invertible, no parece ser necesario, por ejemplo $$\left| \begin{array}{ccc} e-\lambda & a & b \\ a & d-\lambda & c \\ b & c & 0 \\ \end{array} \right|=0$$ tiene una única solución real. Otro ejemplo, donde $M_3$ $2\times 2$ y un valor distinto de cero: $$\left| \begin{array}{cccc} 1-\lambda & 2 & 5 & 4 \\ 2 & 1-\lambda & 3 & 6 \\ 5 & 3 & 1 & 1 \\ 4 & 6 & 1 & 1 \\ \end{array} \right|=0$$ $$\lambda=-\frac{151}{5}$$

Answer 1

El resultado puede ser probada utilizando los mismos argumentos que en la prueba de que los autovalores de matrices simétricas son reales.

Deje $x\ne0$ solucionar $Mx=\lambda Dx$ para algunos posiblemente complejas $\lambda$.

Si $Dx=0$, entonces se cumple $Mx=0$, e $\lambda$ puede ser arbitraria. Esto corresponde a una infinita generalizada autovalor de la matriz de lápiz $(M,D)$. En virtud de su asunción, que $M$ $D$ no tienen en común el espacio nulo, entonces en este caso no puede ocurrir.

Ahora vamos a $Dx\ne0$. Desde $D$ es diagonal con los no-negativo entradas, se deduce $x^HDx\ne0$. Entonces $$ \lambda x^HDx = x^HMx = (Mx)^Hx= (\lambda Dx)^Hx=\bar\lambda x^HDx. $$ Esto implica $\lambda=\bar\lambda$, e $\lambda$ es un número real.

Tenga en cuenta, que este argumento también funciona si $D$ se supone que para ser simétrica positiva semidefinite, como, a continuación, $Dx\ne0$ implica $x^HDx\ne0$.

Answer 2

Este es un argumento muy simple densidad a menos que se echaba de menos algo. Tenga en cuenta que el conjunto de matrices con valores propios real sólo está cerrado en $M_n({\mathbb R})$ con la topología usual.

Considerar el % de matrices $M_t=M+t(I-D)$$t\in{\mathbb R}$. Hay un $\varepsilon >0$ tal que $M_3+tI_m$ es invertible para $t\in (0,\varepsilon)$ (aquí $m$ es el tamaño de $M_3$). Los $t$, todos dice en su OP se aplica a $M_t$, $M_t$ tiene verdadero valores propios. Ahora $M=\lim_{t\to 0} M_t$, que $M$ tiene verdadero valores propios también.