Cohomología de fibraciones sobre el círculo: ¿Cómo calcular la estructura de anillo?

Question

Esta pregunta está inspirada en Cohomology de fibrations sobre el circulo por otra parte, puede ser considerado como un subquestion de la anterior, pero de alguna manera me parece que algunos de los más interesantes puntos no fueron tratados allí. Así que me decidí a pedir un poco más específico cuestión a destacar algunos de los puntos, pero no me importaría en absoluto si alguien se funde a esta pregunta con la anterior.

Deje $E\to S^1$ ser un haz de fibras con fibra de $F$, y asumir sabemos $H^{\bullet}(F,\mathbf{Q})$ como un anillo y el monodromy acción en él. Observe que puesto que la base es un círculo, el Leray espectral de la secuencia degenera en el segundo término de la dimensión razones. Así que tenemos una secuencia exacta $0\to I\to H^{\bullet}(E,\mathbf{Q})\to Q\to 0$ donde $I$ es el kernel y $Q$ es la imagen de $H^*(E,\mathbf{Q})\to H^{\bullet}(F,\mathbf{Q})$. En esta secuencia sabemos $Q,I$ y la acción de la $Q$ $I$ desde el Leray espectral de la secuencia.

1. ¿Esto basta para determinar la racional cohomology de $E$ como un anillo, hasta el isomorfismo? Mi conjetura es que, probablemente, no, pero no puedo encontrar un contra-ejemplo.

2. Si no, sería el mayor Massey productos en $H^*(F,\mathbf{Q})$ permiten calcular la copa del producto en $H^{\bullet}(E,\mathbf{Q})$?

3. Si no, sería un racional homotopy modelo de $A$ de la fibra suficiente, junto con un automorphism $A\to A$ que cubre hasta homotopy la "monodromy" automorphism de las formas diferenciales en $F$? Mi conjetura es que probablemente sí, pero aviso de que la computación modelos de fibrations con que no sea simplemente conectado bases puede ser complicado en general: tomemos, por ejemplo, el espacio de $X$ de todos (ordenada) de las parejas de distintos puntos de la real proyectiva del plano y de la proyección en el primer factor: la fibra es un M\"obius de la banda, que los contratos para el círculo y el monodromy acción cambia el signo del generador en el grado 1; pero tenemos $H^i(X,\mathbf{Q})=\mathbf{Q}$ si $i=0,3$ y cero en caso contrario.

Answer 1

He aquí una de grandes dimensiones "no" a 1) y 2). Deje $M = S^2 \times S^3$. Existe una orientación preservar diffeomorphism de $f \colon M \cong M$, lo que induce la identidad en todas integral de la homología de grupos. Sin embargo el mapa en $\pi_3(M) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ no es trivial - es "triangluar" con el Hopf mapa en una esquina y unos en la diagonal. Si usted toma la asignación de toro de esta diffeomorphism, $T_f$, es una orientada a $6$-colector: sin embargo, hay una clase de $z \in H^2(T_f; \mathbb{Z})$ tal que $z^3 \in H^6(T_f, \mathbb{Z})$ es un no-cero múltiples de la clase fundamental de $T_f$.

Answer 2

Esta es una continuación de Ryan de la respuesta anterior, pero se ha convertido en demasiado grande para un comentario. Yo quería trabajar en los detalles de Ryan ejemplo explícitamente, por lo que podemos ver de forma explícita, donde sus condiciones de falla para determinar la cohomology; tal vez esto te puede ayudar a definir con precisión lo que usted desee. Parece que no tenemos realmente necesidad de Kitano aquí, solo Johnson clásico de los resultados.

Deje $S_g\to M^3\to S^1$ ser una asignación toro de un elemento de la Torelli grupo, es decir, un diffeomorphism $S_g\to S_g$ actuando trivialmente en la homología. Un paquete admite cohomology clases de la satisfacción de las Leray-Hirsch condición [este es un ejercicio divertido], lo que implica que como $H^{\ast}(S^1)$-módulos, $H^\ast(M^3) = H^\ast(S_g) \otimes H^\ast(S^1)$. Así pues, no dependen de la monodromy:

• $Q = H^\ast(S_g)$,
• $I$ , $Q$ con calificación desplazado a 1 (si $H^\ast(S^1) = \mathbb{Z}[t]/t^2$, esto es $tQ$)
• la acción de la $Q$ $I$ (sólo la acción de la $Q$$tQ$),
• y los productos de Massey en $Q = H^\ast(S_g)$ [aunque tal vez me malinterprete lo que quieres decir aquí].

Sin embargo, Johnson implica que su 3-colector tiene el mismo cohomology anillo como el producto $S_g \times S^1$ fib el monodromy se encuentra en el núcleo de un cierto homomorphism llamado Johnson homomorphism; en particular, el anillo de $H^\ast(E)$ depende de la monodromy. Parece que esto demuestra que la respuesta a 1) y 2) son "No".

Ahora podemos comparar esto con tus condiciones para ver exactamente qué información nos falta; resulta ser exactamente el "Johnson homomorphism". La secuencia exacta por encima de $0\to I\to H^\ast(E)\to Q\to 0$ tiene una división como abelian grupos $H^\ast(E) = Q\oplus tQ$ proveniente de la Leray-Hirsch teorema anterior. La única información que no conocemos de forma automática es la copa del producto en $Q$ en esta división con la misma. Sabemos que cuando se proyecto la espalda a la $Q$ factor de recuperar la copa del producto existe, lo que significa que la falta de información es la proyección sobre la $tQ$ factor. Dejando por ejemplo, $Q(1)$ denotar el grado 1 de la parte, de la copa del producto es un mapa de $Q(1) \wedge Q(1) \to H^2(E)$. Proyectando la $tQ$ factor, tenemos $Q(1) \wedge Q(1) \to tQ(2)$. Pero tanto en $Q(1)$ $tQ(2)$ son isomorfos a $H^1(S_g)$, por lo que esta proyección de la copa del producto es un mapa de $\bigwedge^2 H^1(S_g) \to H^1(S_g)$. Este es exactamente codifica los datos que no está determinado por sus condiciones; Johnson hermoso resultado es que este mapa es exactamente el Johnson homomorphism, originalmente definido a partir de las propiedades algebraicas de la monodromy. En particular, se demostró que esta falta de datos puede ser cero o distinto de cero, y de hecho puede ser cualquier cosa en el subespacio $\bigwedge^3 H^1<\textrm{Hom}(\bigwedge^2 H^1,H^1)$.

Esta fue la primera vez que puso en Johnson encuesta "estudio de la Torelli grupo" (MR0718141), y los detalles son elaboradas cuidadosamente en el Hain, "Torelli grupos y la geometría de los espacios de moduli de curvas" (MR1397061). Lo que Kitano está haciendo es diferente, o más bien una generalización de este: mostrar que así como la copa del producto en $H^\ast(E)$ detecta la Johnson homomorphism, la mayor Massey productos en $H^\ast(E)$ detectar "mayor Johnson homomorphisms" medición más profunda algebraicas invariantes. (Si nada de esto resulta útil, por favor considere la posibilidad de una devolución parcial por tu hermoso resumen de la teoría de Hodge en esta respuesta.)

Answer 3

La respuesta a (1) es no. El ejemplo lo más fácil que he sido capaz de pensar es en el caso de un paquete de más de $S^1$ con fibra de una superficie compacta (género $\geq 2$). Para su monodromy, elija un no-trivial elemento de la Torelli grupo (un diffeo que actúa trivialmente en la homología). La copa de la estructura del producto para la cohomology de este 3-colector depende no trivial en el que el elemento de la Torelli grupo que usted elija. Esto es muy estándar cosas en la asignación de los grupos de la clase como es estrechamente relacionado con algo llamado Johnson de filtración. Véase, por ejemplo:

Johnson homomorphisms de los subgrupos de la asignación de grupo de clase, el Magnus de expansión y Massey mayor de productos de asignación de tori.

Teruaki Kitano. Topología y sus aplicaciones. 69 (1996)

Kitano responde a su pregunta (2) en este caso. Parece probable que este argumento es general, por lo menos para paquetes de más de $S^1$.