Ecuación paramétrica para el campo eléctrico de una superficie uniformemente cargada con un perímetro de fractal de la curva de Koch triádica

Question

Actualmente, estoy estudiando fractales así como la electrodinámica. Así que pensé, ¿por qué no crear un problema utilizando los conceptos de ambas asignaturas.

Quiero estudiar el campo eléctrico, en el centroide del triángulo inicial, de un cargo a $q$ que se distribuye uniformemente a través de la n-ésima iteración de un triádica de la curva de Koch. Este sería un largo problema, pero ser resueltos mediante el uso de auto-similitud y la simetría de la curva de Koch.

Edit : a partir De la simetría del problema, el campo sería cero seguro.

Pero este problema se convierte en inválida por el $\infty$-ésima iteración del triádica de la curva de Koch, como una infinita cantidad de carga que se necesitan para llenar el perímetro.

Pero, ¿y si pensamos en una superficie uniformemente distribuidos a cargo, cuyo perímetro es de la $\infty$-ésima iteración de un triádica de la curva de Koch (no hay carga en el perímetro :) ), para lo cual se desea calcular el campo eléctrico en algún distancia perpendicular $d$ desde el centroide. ¿Cómo puede la ecuación paramétrica ser trabajadas en este caso?

Solo quiero algunos consejos, como no sé cómo atacar el problema.

Answer 1

Aquí están algunas observaciones acerca de este problema:

1) menciona que una cantidad infinita de carga sería necesario por la $\infty$-ésima iteración, pero esto no es así. Por la celebración de la cantidad de carga en el sistema constante, el lineal de la densidad de carga de la forma puede ser fácilmente determinado a ser

$$ \lambda_n=\frac{3^{n-1}Q}{4^nL} $$

donde $Q$ es la carga total y $L$ es la longitud de un lado de la inicial del triángulo equilátero. Esto significa que el lineal de la densidad de carga de la $0$-ésima iteración (el triángulo) es $\frac{Q}{3L}$ como se esperaba.

2) sin Embargo, su observación de que el problema deja de ser válida en el límite fractal (en el $\infty$-ésima iteración) es correcta. Se convierte en inválida, no debido a una cantidad infinita de carga, pero debido a que la curva ya no es integrable. Un fractal tiene un incontable número de discontinuidades y es, por tanto, no diferenciable - que es un requisito para el cálculo de la integral que determina el ámbito de esta forma.

3) Que es integral para el potencial electrostático puede ser declaró brevemente como

$$ \phi(\vec x)=k \lambda_n\int_{C}\frac{dl}{|\vec x -\vec x_0|} $$

donde $\phi (\vec x)$ es el potencial electrostático en el punto de $\vec x$ en el espacio, $k$ es la Constante de Coulomb, $\lambda_n$ es la densidad de carga se define anteriormente, $C$ es la curva definida por el perímetro del Copo de nieve de Koch, $dl$ es la longitud infinitesimal a lo largo de $C$, e $\vec x_0$ es la ubicación en el espacio de la longitud infinitesimal.

Larga historia corta, se puede parametrizar la curva (y, por tanto,$dl$) $\vec x_0$ y tomar la integral. Debido a la simetría, usted sólo necesitará completar la parte integral de un lado de el copo de nieve y luego se multiplica por 3. Este proceso es posible (aunque engorroso y tedioso) para todos los finita n; sin embargo, tomando el límite de la falta, ya que la curva no tiene infinitesimal suavidad.

Dicho esto, con el tiempo suficiente, usted podría escribir un programa de computadora que correctamente paramaterizes la curva y calcula la integral para cualquier valor de n. Si hizo esto (que no es una tarea trivial), usted debe encontrar que la integral es el resultado de mayor y los valores más altos de n converge lentamente. Así que, en cierto modo, se puede determinar el límite a través de la aproximación numérica, pero este proceso sería muy difícil y no tiene su correspondiente límite funcional.

4) Un argumento similar se puede realizar para la reformulado la pregunta. Todo lo que usted podría hacer es construir una densidad de carga superficial y hacer una de 2 dimensiones integral sobre el área de la forma. Esta integral no es más fácil que el otro, pero yo esperaría que también convergen lentamente.

Answer 2

Este es un hermoso problema, es uno de mis favoritos en el sitio, aunque me parece más matemáticas-sabio difícil que la física sabio. Agradezco especialmente su simetría y recursiva-como el tacto, pero una mathematitian podría tener un método analítico para resolver esto, usted debe publicarlo en el MSE.

Sólo voy a describir mi solución, como usted lo solicita, pero si quieres que sea más explícito puedo añadir más detalles. También voy a escribir una rutina para calcular aproximadamente, y compartir a través de aquí. Aquí está mi planteamiento:

Resumen de la solución

El Koch superficie puede ser construido por adiciones sucesivas de los triángulos. La superposición principio justifica encontrar el campo Eléctrico total de la superficie como la adición del campo eléctrico producido por cada uno de los triángulos añadido.

La metodología de solución de

Inicial simplificaciones

El Koch superficie tiene un área finita que es $\frac{8}{5}$ de la inicial triángulo $a_o$, y el uniforme de la densidad de carga sería de $\sigma=\frac{5q_o}{8a_o}$ $q_o$ de la carga total. Cada triángulo añadido tendrá la misma densidad, y por supuesto, un cargo proporcional a su área.

La construcción de la zona por la adición de los triángulos, los distribuye siempre con polar simetría en relación al centro de gravedad. Esto significa que los componentes del campo eléctrico de cada iteración se cancelan, y sólo los componentes perpendicular al plano (a lo largo de la dirección de $d$) contribuir a la total del campo eléctrico. En otras palabras, el campo eléctrico de una Koch superficie anterior del centro de gravedad está orientado paralelo a la perpendicular a la superficie, ya que tiene polar simetría alrededor de este punto.

---

Método

En cada iteración, un número de triángulos equiláteros $N_n$ de la longitud lateral $s_n$ es añadido en las posiciones desde el centroide $\{ {\bf r}^k_n, k \in [1, N_n] \}$ (con módulo de $\{ r^k_n, k \in [1, N_n] \}$) y orientaciones $\{ \alpha^k_n, k \in [1, N_n] \}$. La contribución de cada triángulo para el campo eléctrico es: $$E_n = \sum_{k=1}^{N_n}{\rm E}(d, s_n, \alpha^k_n, {\bf r}^k_n)$$ Por lo tanto el campo eléctrico total será: $$E = \sum_{n=1}^{\infty}E_n$$

Vamos a determinar cada uno de los elementos necesarios.

• $N_n = 3\times 4^{n-1}$
• $s_n = \frac{s_o}{9^n}$ donde $s_o$ es el lado de la longitud de la inicial triángulo
• ${\bf r}_n^k$ puede ser encontrado de forma recursiva, por medio de los anteriores ${\bf r}_{n-1}^k$. Vamos a definir que ${\bf r}_n^k$ siempre a punto de los centros de cada uno de los lados en la iteración actual. El vector en la iteración anterior ${\bf r}_{n-1}^k$ fue hacia el centro de algún lado. El nuevo triángulo colocado allí (con un lado de longitud 1/3 de la anterior lateral tamaño) presenta 4 nuevos lados. Sus centros se pueden encontrar como: ${\bf r}_n^{k_i} = {\bf r}_{n-1}^k + \Delta {\bf r}_{n-1}^i$ donde $\Delta {\bf r}_{n-1}^i$ tiene 4 valores diferentes: $-\frac{s_{n-1}}{3}{\hat h}^k_{n-1}$, $\frac{s_{n-1}}{3}{\hat h}^k_{n-1}$, $\frac{s_{n-1}}{12}\left( -{\hat h}^k_{n-1}+\sqrt{3}{\hat o}^k_{n-1}\right)$, $\frac{s_{n-1}}{12}\left( {\hat h}^k_{n-1}+\sqrt{3}{\hat o}^k_{n-1}\right)$ donde ${\hat h}^k_{n-1}$ ${\hat o}^k_{n-1}$ son versors respectivamente a lo largo y perpendicular a la dirección de la $k$th lado de la $n-1$th iteración.
• $\alpha_n^k$ se puede determinar también de forma recursiva, yo prefiero usar el ángulo entre el${\bf r}_n^k$${\hat o}^k_{n-1}$, pero una diferente puede ser utilizado, siempre y cuando la función a continuación se calcula correctamente como una función de la $\alpha_n^k$
• ${\rm E}(d, s_n, \alpha^k_n, {\bf r}^k_n)$ es la componente a lo largo de la vertical en un punto por encima del centro de gravedad a la altura de la $d$ (ver arriba) del campo eléctrico de una forma uniforme cargada triángulo equilátero encuentra a una distancia ${\bf r}_n^k$ desde el centroide y la orientación de la $\alpha_n^k$: $${\rm E}(d, s_n, \alpha^k_n, {\bf r}^k_n) = k_e\sigma\frac{\sqrt{3}}{4}s^2_n \int\int \frac{dxdy}{|{\bf r}^k_n + {\bf d}|^2}\cos{\phi^k_n}$$ con $\phi^k_n$ siendo el ángulo de la distancia de la posición del triángulo (en el centro de la $k$th lado de la $n-1$th iteración) para el punto de interés en $d$ desde el avión $$\cos{\phi^k_n} = \frac{d}{|{\bf r}^k_n + {\bf d}|}$$

Answer 3

Creo que este problema podrían ser resueltos mediante diferencial de las cadenas de https://arxiv.org/abs/1210.4528

Ellos son es una estructura matemática que es, efectivamente, una predual de formas diferenciales, es decir, formalizar y extender la noción de "dominio de integración". No es difícil representar auto-similar fractales como diferencial de cadenas (ver fig. 2) y su límite no existe en muchos casos interesantes. Esto permitiría que (al menos formalmente) integrar sobre la $n\to \infty$ límite del copo de nieve de Koch, y estar seguro de que su límite en realidad converge en un sentido significativo.

Es probable que sea posible para el puerto de la diferencial de la forma formalismo del electromagnetismo a la diferencial de la cadena de idioma y resolver el problema en su funky de dominio. No es una tarea fácil, pero parece manejable.