Álgebra lineal prueba de Teorema del valor medio

Question

Esta es una prueba válida del valor medio teorema?

Supongamos $f$ es un continuo función derivable en el intervalo de $[a,b]$, entonces existe una $c\in(a,b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Prueba:

Deje $B=\{e_1,e_2\}$ ser el estándar de base para $\mathbb{R}^2$. A continuación, vamos a $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)$, es decir, el ángulo que forma la secante, los formularios en línea con la $x$-eje. A continuación, considere la posibilidad de la transformación lineal, $T$, definido por la matriz de rotación por $\theta$ en el estándar de la base:

$$ T = \left(\begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array}\right) $$

A continuación, $T(B)$ es una base de uno de sus componentes de los vectores es paralela a la secante de la línea. Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Rolle y el resultado de la siguiente manera. $\blacksquare$

Mi idea es que mediante la rotación de los vectores de la base que sólo podemos considerar como $f(a)=f(b)$ y el teorema de Rolle se la da a nosotros de inmediato, a continuación,. Supongo que la intuición detrás de la prueba de ello es que sólo se puede girar la cabeza hasta que sea una curva que satisface las condiciones del teorema de Rolle, pero es válido que puedo hacer esto?

Answer 1

No es válido que usted puede hacer esto; al girar la gráfica de una función, ya no puede ser una función. Creo que es un buen ejercicio para llegar a un ejemplo donde esto sucede.

Sin embargo, usted puede probar el teorema del valor medio del teorema de Rolle de: definir una nueva función para que sea igual al $f$ menos la línea de $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$ y luego aplicar del teorema de Rolle.

Answer 2

Si la función es cóncava hacia abajo en todas partes y tiene una tangente vertical en ambos extremos, a continuación, este método no funcionará. Dibujar una imagen y verás por qué. De hecho, si la tangente es empinado pero no vertical, esto no va a funcionar porque la gráfica resultante se producirá la línea vertical de la prueba.

La transformación lineal cuya matriz es $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -m & 1 \end{bmatrix}, $$ donde $m$ es la pendiente de la secante de la línea, va a funcionar. Y eso es justo lo que se suele hacer, incluso si no se formulan en el lenguaje del álgebra lineal y matrices.