Cuántos grupos de orden $512$ y $1024$ están ahí con un centro de tamaño $2$ ?

Question

No he encontrado una secuencia en OEIS sobre el número de grupos de un orden determinado con un centro de tamaño $2$ .

Para las primeras potencias de $2$ Los números son..:

$2$ : $1$ grupo

$4$ : $0$ grupos

$8$ : $2$ grupos

$16$ : $3$ grupos

$32$ : $10$ grupos

$64$ : $27$ grupos

$128$ : $121$ grupos

$256$ : $605$ grupos

Quería contar el número de grupos de orden $512$ con un tamaño de centro $2$ con GAP, pero lleva mucho tiempo.

El primer millón de los grupos contiene $4842$ ejemplos, el siguiente millón de grupos tienen todos el tamaño del centro $16$ y los grupos de $10,400,000$ al último grupo contiene $29$ estos grupos

Preguntas : ¿Alguien sabe el número de grupos de orden $n$ con un centro de tamaño $2$ para $n=512$ y $1024$ ?

¿Puede la probabilidad de que un grupo aleatorio de orden $n$ tiene un centro de tamaño $2$ para valores más altos ( $2048$ o incluso $4096$ ) ?

Answer 1

Tengo los datos de los grupos de orden $512$ que calculé utilizando el paquete ParGAP en una máquina de 8 núcleos para el artículo de 2009 "The modular isomorphism problem for the groups of order $512$ "con Bettina Eick.

Para los grupos de orden $512$ lo he hecho:

gap> Length(centersize);
10494213
gap> Collected(centersize);
[ [ 2, 5327 ], [ 4, 128741 ], [ 8, 4303591 ], [ 16, 6025263 ], 
  [ 32, 30014 ], [ 64, 1063 ], [ 128, 184 ], [ 512, 30 ] ]

por lo que el número de grupos con el centro de orden $2$ es $5327$ .

Mis datos coinciden con sus observaciones:

gap> Number([1..10^6],i->centersize[i]=2);
4842
gap> Number([10^6+1 .. 2*10^6],i->centersize[i]=2);
0
gap> ForAll([10^6+1 .. 2*10^6],i->centersize[i]=16);
true
gap> Number([10400000 .. Length(centersize)],i->centersize[i]=2);
29

Los grupos de orden 1024 no están incluidos en la Biblioteca de Grupos Pequeños del GAP, por lo que esto va a ser más difícil. No sé si alguien lo sabe.

Para grupos aún más grandes, para empezar, ¿existe una definición limpia de lo que es "el grupo aleatorio de orden $n$ ¿"Significa"?