Qué condiciones deben cumplir las constantes b1,b2 y b3 para que el sistema siguiente tenga solución

Question

$$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = b_1 \\ 2x_1 + 5x_2 + 3x_3 = b_2 \\ x_2 - 3x_3 = b_3$$

Utiliza el método de Gauss: $-2p_1+p_2$ para producir $x_2-x_3=-2b_1+b_2$ . $p_1+p_3$ para producir $x_1+3x_2=b_1+b_3$ $-p_2+p_1$ para producir $-x_1-3x_2= b_1-b_2$

Lo anterior produce el sistema: la primera fila $-x_1-3x_2=b_1-b_2$ segunda fila $x_2-x_3=-2b_1+b_2$ tercera fila $x_1+3x_2=b_1+b_3$ Vuelve a hacer el método de Gauss. $p_1+p_3$ para producir $0=2b_1-b_2+b_3$

Ya que de lo anterior obtuve una ecuación homogénea. Puedo parar y reescribir el sistema. primera fila $-x_1-3x_2=b_1-b_2$ segunda fila $x_2-x_3=-2b_1+b_2$ tercera fila $0 = 2b_1-b_2+b_3.$ Escribe la ecuación homogénea en términos de $b_3. b_3 = -2b_1+b_2$

Así que puedo decir que el sistema es consistente si y sólo si $b_3=-2b_1+b_2.$

¿Puedo obtener una verificación de mi respuesta?

Answer 1

De hecho, usted mismo puede comprobarlo directamente.

La condición significa que el LHS de $L_3$ es el LHS de $-2 L_1 + L_2$ , donde $L_i$ es la línea i-ésima del sistema, y esto es cierto. Además, como el LHS de $L_1$ y $L_2$ son independientes, hay exactamente una condición lineal en el $b_i$ para tener una solución.

Así que su respuesta es correcta.

Answer 2

También puede aplicar La regla de Cramer . Para este sistema tenemos:

$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \end{vmatrix}$$

Si el determinante no es igual a cero, entonces el sistema es consistente y tiene una solución. Desgraciadamente si lo calculas verás que el determinante es igual a cero. Así que tendrá una cantidad infinita de soluciones o no tendrá solución.

Para tener una cantidad infinita de solución necesitamos tener:

$$\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0$$

Elige uno, no cambiará nada por lo que tienes:

$$\Delta_x= \begin{vmatrix} b_1 & 2 & 3 \\ b_2 & 5 & 3 \\ b_3 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 0$$

Calcula el valor del determinante y obtendrás:

$$-15b_1 + 6b_3 + 3b_2 - 15b_3 + 6b_2 - 3 b_1 = 0$$ $$-18b_1 - 9b_3 + 9b_2 = 0$$ $$b_2 = 2b_1 + b_3$$