Gavilla de la estructura se compone de anillos noetheriano

Question

Deje $X\subseteq \mathbb{A}^n$ ser una variedad afín. El anillo de $k[x_1,\ldots,x_n]$ es noetherian porque de Hilbert teorema de la base.

El anillo de coordenadas $k[X]=k[x_1,\ldots,x_n]/I(X)$ es noetherian ya que los ideales de $k[X]$ son de la forma $J/I(X)$ donde $J\supseteq I(X)$ es un ideal de a $k[x_1,\ldots,x_n]$.

El anillo local de $X$$p\in X$, dado por $\mathcal{O}_{X,p}=\{f \in k(X) : f \text{ regular at } p\}$ es noetherian porque es una localización de $k[X]$, y los ideales de un anillo de fracciones de $S^{-1}A$ son de la forma $S^{-1}J$ donde $J$ es un ideal de a $A$.

Si $U\subseteq X$ es abierto, permite a $\mathcal{O}_X(U)=\bigcap_{p\in U}\mathcal{O}_{X,p}$. Es este anillo noetherian así?

Answer 1

Desde cualquier subscheme de un noetherian esquema es noetherian (Corolario 3.22 en Görtz/Wedhorn), se puede reducir al caso de global secciones.

Si $X = \operatorname{Spec} R$ es afín, a continuación, $X$ es noetherian si y sólo si $R$ es noetherian (Prop. 3.19 en Görtz/Wedhorn), por lo tanto la sección del anillo de cualquier afín abierto será noetherian.

Pero en general, la respuesta es negativa, ver esta respuesta:

Es la sección global del anillo de un Noetherian Esquema de Noetherian así?

Answer 2

Podemos hacer la siguiente en el caso local, pero los detalles de la misma se deja en manos del lector.

Deje $X$ ser una irreductible variedad afín sobre los números complejos. La respuesta a su pregunta es afirmativa, porque tomando la intersección en el campo de fracciones de $\mathbb{C}(X)$, tenemos que $$\mathbb{C}[X]=\bigcap_{x\in X}\mathcal{O}_{x,X}.$$ Esto dice que el local anillos de $X$ determinar las coordenadas del anillo de $\mathbb{C}[X]$. Ahora, para ver por qué esto es cierto, uno inclusión es clara. El otro va como sigue. Decir $f\in \mathcal{O}_{x,X}$ todos los $x\in X$. Pasemos a analizar el ideal que los ascensores $f$ a las coordenadas del anillo, que es $$Z=\{g\in \mathbb{C}[x_0,\ldots , x_n]| \mbox{ if } \overline{g}\in \mathbb{C}[X],\overline{g}.f\in\mathbb{C}[X]\}.$$ Observe that $f$ regular at $x$ means that $f=h_x/g_x$, where $g_x\ne 0$, which tells us that $g_x\Z$, and therefore $x\noen V(Z)$ for all $x$ (this is an open condition). Note the ideal defining $X$, $I(X)$, is contained in $Z$, and openness tells us $V(Z)=\emptyset$. Now, Nullstellensatz says that $1\I(V(Z))$, which implies that $f\in \mathbb{C}[X]$.