Que $G$ ser un grupo finito. Llamaremos número $p$, $G$ un elemental $p$-grupo iff $\exp G=p$. Sé que todos primaria $2$ los grupos de son abelian, y sé también que la construcción de la no-abelian elementales $p$-grupos de orden $p^3$ para cada número primo impar $p$. ¿Mi pregunta es que podemos enumerar todos los elementales $p$-grupos cada $p\in\mathbb P$?
Respuestas
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Considerar el grupo $U(n,\mathbb{Z}_p)$ de $n\times n$ parte superior triangular matrices sobre el campo $\mathbb{Z}_p$ de orden $p$, en el que las entradas de la diagonal son $1$. Por simplicidad, consideremos $n\leq p$, que obliga a que $U(n,\mathbb{Z}_p)$ es un grupo $p$ % exponente $p$. Creo que la determinación de subgrupos de este grupo está todavía abierta, así que la respuesta a tu pregunta podría ser "NO".
invertedSpear
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Puede que no sea una respuesta completa, pero los del grupo puede ser construido de forma inductiva el uso de semi-producto directo (por lo tanto no pueden ser demasiado complicado). Tome $G$ primaria $p$-grupo. Tomar cualquier máximo del grupo $M$$G$, entonces sabemos que $M$ no puede sino ser normal y $[G:M]=p$. De esto se sigue que $G/M$ es un grupo de orden $p$ por lo tanto es cíclico de orden $p$. Además es claro que $M$ debe ser de una escuela primaria $p$-grupo así. Por lo tanto hemos descompuesto $G$ una extensión :
$$1\rightarrow M\rightarrow G\rightarrow \frac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}\rightarrow 1$$
Ahora me reclaman que la extensión está dividido, tome $1$ a ser un generador de $\frac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}$ $g_0\in G$ tal que $g_0M=1$, entonces afirmo que la función :
$$s:\frac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}\rightarrow G $$
$$k\mapsto g_0^k $$
Esto está bien definido debido a $g_0$ es de orden $p$. Afirmo que esta función es un grupo de morfismos que se divide la extensión anterior. Por lo tanto :
$$G\text{ is isomorphic to }M\rtimes s(\frac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}) $$
Por lo tanto, cualquier elementary $p$-grupo de orden $p^n$ es un semi producto directo de una escuela primaria $p$-grupo de orden $p^{n-1}$$\frac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}$.
