¿Por qué usar ZF sobre NFU?

Question

Perdóname si esta pregunta es bastante ingenuo; he estudiado la teoría de conjuntos axiomática en el contexto de ZF, pero mi conocimiento de NF(U) va un poco más allá de sus axiomas, lo que significa que una fórmula para ser estratificado, y cosas que he leído en los sitios web de aquí y de allá.

Lo que hace NF atractivo para mí (más que ZF) es que utiliza menos axiomas y se resuelve de la paradoja de Russell en una manera que mejor se ajuste a mi intuición de cómo creo un 'set' debe comportarse; sin duda es más intuitiva que la Fundación+Separación+de Reemplazo+... en ZF. La desventaja de la NF es que se demuestra que es $\neg$CA, que es una vergüenza. Pero mediante la adición de urelements, que casi puedo obligarme a aceptar, podemos llegar a NFU, que es:

• Consistente;
• En consonancia con el Axioma de Elección;
• En consonancia con el Axioma de Infinitud;
• Más intuitivo que ZF;

Y según esta página, NFU puede de forma segura"extenderse tan lejos como crees que ZFC puede ser extendido".

Ahora ZF(C) tiene sus ventajas, la construcción de nuevos conjuntos a partir de las viejas y todo eso, pero todavía no se ha demostrado ser consistente. Wikipedia [cita requerida] dice: "Un argumento común en contra de la utilización de NFU como una base para las matemáticas es que nuestras razones para confiar en lo que tiene que ver con nuestra intuición de que ZFC es correcta." $-$ es que todo lo que hay?

Mi pregunta es:

¿Por qué es ZF(C) el paradigma bajo el cual 'matemáticas' se hace, en lugar de NFU(+Inf)(+AC), que sabemos que para ser coherente?

Answer 1

Yo nunca he estudiado NF o NFU en cualquier gran detalle, pero he encontrado algunos puntos más sutil y, potencialmente, no vale la pena el esfuerzo para evitar.

1. La estratificación. NF no puede escapar de sus raíces en Russellian tipo de teoría. Esto significa que es difícil comparar directamente los conjuntos de diferentes "tipos". Considere, por ejemplo, de los "mapas" $X \to \mathscr{P}(X)$ utilizado en el Cantor del teorema. Este es, en cierto sentido ilegales en NF: usted sólo puede tener mapas entre conjuntos del mismo tipo, y el tipo de $\mathscr{P}(X)$ es mayor que la de $X$. La norma NF circunloquio aquí es para hablar de los mapas de $\mathscr{P}_1 (X) \to \mathscr{P} (X)$ lugar donde $\mathscr{P}_1 (X)$ denota el conjunto de singleton subconjuntos de a $X$. Cantor de la prueba lleva a cabo sin ningún problema una vez que esta solución es adoptado... pero uno tiene que darse cuenta de que esto es otro teorema. En particular, si $V$ es el conjunto universal, sólo podemos demostrar que no hay surjection $\mathscr{P}_1 (V) \to \mathscr{P}(V)$, muy lejos de la indudable hecho de que $\mathscr{P}(V) \subseteq V$! (De hecho, si usted tiene incluso una urelement, a continuación,$\mathscr{P}(V) \subsetneq V$.)

2. El fracaso de la cartesiano-closedness. Considerar la evaluación "mapa" $\textrm{ev} : Y^X \times X \to Y$. La gráfica de este "mapa" no puede ser un conjunto de NF, por diversas razones. [1, 2] en términos generales, a si $X$ es un conjunto de tipo $n$, $Y$ debe ser también un conjunto de tipo $n$, en cuyo caso $Y^X \subseteq \mathscr{P}(X \times Y)$ es un conjunto de tipo $n + 1$; pero entonces somos incapaces de escribir un estratificado definición de $Y^X \times X$. Por lo tanto, la categoría de NF conjuntos no es cartesiana cerrada!

3. Tipos locales. Lo que he dicho hasta ahora, parece contradecir la (finito) axiomatisation dada por Holmes [3], que dice por ejemplo, que siempre se puede formar el conjunto de $X \times Y$ o $Y^X$. Pero esta es sólo una aparente contradicción. El hecho del asunto es que los conjuntos de NF en realidad no tienen un tipo. Me gusta pensar de NF como ser "localmente escrito": establece sólo la ganancia de tipos cuando interactúan con otros conjuntos. Por lo tanto, $Y^X \times X$ existe (en algún sentido), pero no podemos hacer mucho uso de ella. Holmes escribe,

   Otro hecho acerca de la estratificación de las restricciones deben tenerse en cuenta: una variable libre en $\phi$ en un conjunto de definición de $\{ x \mid \phi \}$ pueden aparecer con más de un tipo sin impedir que el conjunto de los existentes, siempre y cuando esta definición de conjunto en sí no es incrustado en un conjunto mayor definición. La razón de esto es que una definición de conjunto puede ser hecho estratificado por distinguir todas las variables libres: el que resulta de la definición se supone que funciona para todas las asignaciones de valores a esas variables, incluyendo aquellos en los que algunas de las variables libres (incluso los de tipo diferente) se identifican el uno con el otro. Por ejemplo, el conjunto $\{ x, \{ y \} \}$ tiene un estratificado de definición; el conjunto $\{ x, \{ x \} \}$ tiene un unstratified definición, pero la existencia de $\{ x, \{ y \} \}$ para todos los valores de $x$ $y$ asegura la existencia de $\{ x, \{ x \} \}$ cualquier $x$. Pero un plazo $\{ x, \{ x \} \}$ no puede aparecer en la definición de una nueva serie en la que $x$ está ligado.

4. Debilidades. Holmes [4] señala que llevaban NFU tiene la misma consistencia de la fuerza como la PA, y NFU + Infinito + AC tiene la misma consistencia de la fuerza como Mac Lane teoría de conjuntos (MAC) (es decir, Zermelo la teoría de conjuntos, pero con sólo $\Delta_0$-separación). Es cierto que en muchos casos sólo necesitamos $\Delta_0$-separación para formar los conjuntos queremos – pero cuando la inducción se filtra en la imagen tenemos que empezar a preocuparse.

   Considere el espacio vectorial $V$ de todos los polinomios. No hay duda de que podemos formar el espacio dual $V^* = \textrm{Hom}_\mathbb{R} (V, \mathbb{R})$ en MAC – pero Mathias [5] dice que la MAC no se puede demostrar "la $n$-ésima iteración doble espacio existe para todos los números naturales $n$". Esto es debido a que las cardinalidades de la iterada espacio dual crecer demasiado rápido – después de todo, $V_{\omega + \omega}$ es un modelo de MAC. Esto parece artificial, pero es suficiente para mí para empezar a preocuparse de si importante inductivo construcciones puede ser llevado a cabo en MAC. Y si la MAC no es lo suficientemente fuerte como para hacer algo de matemáticas, ¿por qué debería NFU + Infinito + Opción? (Las dos teorías no son biinterpretable, por lo que no es literalmente cierto que prueban la misma teoremas.)

Personalmente, prefiero tener sin restricciones de comprensión. Pero a continuación, voy a preguntar por un pony...

Answer 2

El problema con NF(U) es que te obliga a lidiar con la lógica de todo el tiempo. Usted no puede realmente usar cualquier cosa y sólo asegúrese de que está delimitada por un conjunto.

Usted necesita para mantener verificar si la definición de fórmulas son estratificados, y si se puede o no se puede utilizar para definir nuevos conjuntos. Por supuesto, usted puede utilizar las clases (en el sentido de definibles colecciones que no son conjuntos), pero esto no es cómo queremos fundacional de la teoría de conjuntos para trabajar. Queremos tener los conjuntos de matemáticas.

Tengo que admitir mi propia ignorancia acerca de cómo gran parte de la matemática que es posible desarrollar dentro de los límites de la lógica empujando las teorías de la NF y NFU, sin embargo, hay dos puntos para dar, aquí:

Las matemáticas, y de hecho gran parte del mundo humano, se basa en "el primero que llega, primero que se sirve". Se necesita tiempo y una fuerza increíble para revolucionar el mundo. ZF era muy natural en muchas maneras, y fue muy útil para otras personas fuera de la teoría de conjuntos. Por supuesto, siempre se puede empezar a trabajar en NF(U) y espero que se dé, escribir libros y así sucesivamente.

Sin embargo, como están las cosas ZF es el rey de la colina, y el hecho es que la mayoría de los matemáticos no les importa realmente lo que es el conjunto de marco teórico. Ellos sólo quieren hacer sus matemáticas. Sucede que estoy trabajando en un proyecto relacionado con el modelo de categorías y modelos de ZFC hoy en día. Veo cómo poco cuidado que tienen a muchos porqués. Nos tomamos las cosas que internamente están definidos? Externamente definible? Asumimos que hay un modelo y hacer esto o aquello?

No. Nosotros simplemente no las matemáticas y resolver los problemas a medida que se acerquen. ZF es muy buena y natural para que. He aquí un ejemplo, quiero argumentar algo acerca de la colección de las topologías de los números reales que son Hausdorff. No necesito argumentar que la definición de la fórmula de ser un Hausdorff topología de más de $\mathbb R$ tiene algunas propiedades sintácticas y mostrar que esta colección es un conjunto. Simplemente he estado y se mueven a lo largo.

Tampoco sabemos acerca de la relativa consistencia de las teorías. Es posible que los NFU es más fuerte o más débil que ZF, podría ser que ambos son equiconsistent. Por supuesto esto es sólo una cuestión filosófica de cómo y dónde poner su fundacional "saltar" y cree que su matemática es coherente (y tienes que asumir algo, de todos modos).

La prueba de la consistencia de NFU asume la consistencia de algunos otros de la teoría, e incluso la consistencia de la lógica de primer orden. Nosotros no sabemos, vamos a nunca saber si es o no nuestra extremadamente abstracto-fundacional teorías son consistentes. Siempre tendremos que asumir que son.

Answer 3

La mayoría de los matemáticos (lo que oficialmente reclamar) no son puros formalistas: ellos son guiados por las diversas concepciones de la matemática universos que pretenden describir. Que va para el conjunto de los teóricos.

Zermelo conjunto de la teoría con la elección fue introducido (no?) como un compendio de los principios sobre el conjunto de capacidades que los matemáticos realmente requerido. Más tarde, la Sustitución fue lanzada en la mezcla, que nos da lo que nosotros ahora llamamos ZFC.

Ahora, al principio todo parecía un poco ad hoc (cocina hasta que se nos dé una paradoja-evitar el kit de herramientas para el trabajo matemático). Y el hecho de que "trabajó" no estaba inicialmente considerado como suficiente para tranquilizar a la búsqueda de alternativas.

Sin embargo, ya en Gödel 1933 conferencia la sugerencia es emergente que ZFC (de la Fundación) es una teoría que realmente se ajusta a una hermosa y natural de la concepción de conjuntos como la formación de una bien fundada acumulativa de la jerarquía. Se tomó (parece en retrospectiva) un sorprendente tiempo para esta concepción a ser canónica: pero hoy en día la mayoría de las personas beben con su primer grupo-curso teórico -- que pensar en todas las diagramas de que el universo de la pura establece en una forma de V pila de niveles, con los ordinales de von Neumann como la vertical de la columna vertebral. Así que, en breve, ZFC ahora viene con un agradable intuitivamente se pueden agarrar historia sobre el universo de los conjuntos que se pretende dar a nosotros (parcial) descripción de. No es de extrañar que puede parecer muy atractivo.

Lo que, por otro lado, el universo de los conjuntos de NF pretende describir "parece"? NF, parece, viene sin motivar la historia-o al menos, no uno con tal intuitivo y atractivo natural. (Quizás no es una coincidencia que el NF fue propuesto por ese arco nominalist Quine, que pondría ningún valor a nuestra supuesta intuitiva comprensión de la estructura de la jerarquía acumulativa.)

Así que hay una presunción prima facie de contraste: un 'natural' intuitiva de la concepción que sustenta ZFC vs (lo que puede parecer) una paradoja de bloqueo sintáctica truco que nos da NF. Esa es una de las razones -- ¿no? -- para el continuo predominio de estándar de la teoría de conjuntos (o de un cierre variante como Scott-Potter, cuya atracción es precisamente la que más explícitamente se inicia a partir de la idea de una jerarquía acumulativa). Yo no estoy aquí respaldando esa justificación: sólo estoy sugiriendo que, con razón o sin ella, algo como esto juega un papel importante en la historia.