Forzamiento y extensiones genéricas

Question

Lo siguiente es de Halbeisen, página 289, sobre las extensiones genéricas:

Esto nos lleva a una de las características clave del forzamiento: Al saber si una determinada condición $p$ pertenece a $G \subseteq P$ Las personas que viven en $\mathbf V$ puede averiguar si una frase dada de la lengua forzosa es verdadera o falsa en $\mathbf V [G]$ . Además, resultará que las personas que viven en $\mathbf V$ son capaces de verificar que en ciertos modelos $\mathbf V [G]$ todo axiomas de $ZFC$ son ciertas.

Tengo tres preguntas relacionadas con este pasaje.

Uno es: ¿Por qué es conveniente verificar la verdad o la falsedad de las afirmaciones en $\mathbf V[G]$ desde dentro $\mathbf V$ ? ¿Por qué no sería suficiente verificarlos en $\mathbf V [G]$ ?

Dos: ¿Entiendo correctamente que la gente en $\mathbf V$ utilice $P$ nombres para verificar que $ZFC$ tiene en $\mathbf V [G]$ ? (el pasaje no habla de esto)

Tres: Pensé que si $\mathbf V$ satisfecho $ZFC$ entonces también lo haría $\mathbf V [G]$ pero el pasaje sólo dice " cierta modelos $\mathbf V [G]$ "satisfacen todos los axiomas de $ZFC$ . ¿Cuáles sí y cuáles no?

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

1. Esta es la pregunta en la que estoy más indeciso, así que perdóname si esto no tiene sentido. La conveniencia de las personas en $\newcommand{\V}{\mathbf V}\V$ poder verificar la veracidad de las afirmaciones que se sostienen en $\V [ G ]$ es que, de lo contrario, podría no ser verificable que $\V [G]$ satisface la ZFC para $G$ $P$ -generico sobre $\V$ . Considerar la separación:

   Dejemos que $X , a \in \V [G]$ y supongamos que $\phi ( x , y )$ es alguna fórmula. Queremos construir $Y \in \V [G]$ tal que $$\V [ G ] \models ( \forall x ) ( x \in Y \leftrightarrow ( x \in X \wedge \phi ( x,a ) ).$$ Sabemos que $X$ tiene un nombre $\dot{X}$ en $\V$ , y de forma similar $a$ tiene un nombre $\dot a$ en $\V$ . Podemos entonces considerar $$\sigma = \{ \langle \tau , p \rangle \in \mathrm{dom} ( \dot{X} ) \times P : p \Vdash ( \tau \in \dot{X} \wedge \phi ( \tau , \dot a ) ) \}.$$ Debe quedar claro $\sigma$ es un $P$ -y que, bajo los supuestos mencionados anteriormente $Y = \sigma [G]$ tendría la propiedad deseada. Sin embargo, si $\Vdash$ no eran definibles en $\V$ (lo que significa que no hay una fórmula $\psi$ tal que $(\psi ( p , \tau , \dot a ) )^{\V} \Leftrightarrow p \Vdash ( \phi (\tau , \dot a)$ ), entonces $\sigma$ no necesita estar en $\V$ (y por lo tanto $Y$ no tiene por qué estar en $\V [G]$ ). Sin apelar a alguna propiedad en $\V$ Sinceramente, no sé cómo construir en general el deseado $P$ -nombre en $\V$ ( es decir el conjunto deseado en $\V [G]$ ).

   La definibilidad de $\Vdash$ en $\V$ también permite la posibilidad de utilizar las propiedades combinatorias de la noción de forzamiento $P$ (que puede verificarse en $\V$ ) para determinar la veracidad de ciertas afirmaciones en $\V [G]$ . Por ejemplo, si $P$ es ccc (lo que significa que las personas en $\V$ piense en $P$ es ccc), entonces cada cardinal en $\V$ sigue siendo un cardenal en $\V [ G ]$ . Si no hubiera forma de determinar la verdad en $\V [ G ]$ de $\V$ entonces sería dudoso que hubiera una fuerte conexión entre la combinatoria de $P$ y la verdad en $\V [ G ]$ . Resulta que el uso de estas propiedades combinatorias es fundamental para muchas pruebas de forzamiento.

2. Como la gente en $\V$ sólo tienen acceso a $\V [ G ]$ a través de la $P$ -nombres, utilizan $P$ -nombres a verificar $\V [ G ] \models \phi$ . En particular, el Axioma de Emparejamiento se verifica en $\V$ para mantener en $\V [ G ]$ de la siguiente manera:

   Dejemos que $\sigma , \tau$ sean dos cualesquiera $P$ -nombres (en $\V)$ . Construya lo siguiente $P$ -nombre: $\theta = \{ \langle \sigma , \mathbf 0 \rangle , \langle \tau , \mathbf 0 \rangle \}$ . Por aplicaciones del Axioma de Emparejamiento en $\V$ sabemos que $\theta \in \V$ y es fácil ver que $\theta$ es un $P$ -nombre. Además, dado cualquier filtro $G \subseteq P$ ya que $\mathbf 0 \in G$ se deduce que $$\theta [ G ] = \{ \sigma [ G ] , \tau [ G ] \}.$$ Como todos los objetos en $\V [ G ]$ tienen $P$ -nombres en $\V$ se deduce que $\V [ G ] \models \text{Pairing}$ .

   Como en el caso anterior, las propiedades combinatorias de $P$ también puede utilizarse. Pero en algún momento alguien debió comprobar la conexión entre la combinatoria de $P$ y la verdad en $\V [G]$ (a menudo utilizando estas propiedades combinatorias para manipular $P$ -nombres de manera adecuada).

3. Tenga en cuenta que $\V [ G ]$ no necesita satisfacer todos los axiomas de ZFC para arbitrario $G \subseteq P$ , incluso filtros arbitrarios $G \subseteq P$ . El texto de Kunen afirma que la Extensionalidad, la Fundación, el Emparejamiento y la Unión se sostienen bajo el supuesto de que $G$ es sólo un filtro en $P$ . Utilizando el enfoque del modelo transitivo contable para forzar, mediante la codificación de un buen ordenamiento de $\omega$ de tipo de orden $> o(V)$ se puede construir un filtro $G \subseteq P$ tal que $V[G]$ no satisface la sustitución (como se indica en esta respuesta anterior ).

   Es cierto que para cada $P$ -Filtro genérico $G$ en $\V$ que $\V [ G ]$ satisfará ZFC, pero esta noción parece introducirse en la siguiente sección del texto de Halbeisen (a pesar de que la he mencionado copiosamente más arriba).