Sistema completo ortogonal de polinomios

Question

Que $h_0(x)=e^{-x^2/2}$ y $h_k=B^kh_0$, donde $B=-\dfrac{d}{dx}+x$. Muestran que el %#% de #% forma un sistema ortogonal.

(Sugerencia: tenemos $\dfrac{h_k}{\|h_k\|_2}$, donde $\langle Af,g\rangle=\langle f,Bg\rangle$. Considerar $A=\dfrac{d}{dx}+x$ y utilice la fórmula de conmutador $\langle B^kh_0,B^lh_0\rangle$.)

Podemos mostrar que $[A,B^n]=ncB^{n-1}$, donde $h_k(x)=H_k(x)e^{-x^2/2}$ es un polinomio de grado $H_k(x)$ definidas en $k$.

Tenemos $H_k(x)=2xH_{k-1}(x)-H'_{k-1}(x)$. No veo por qué esto debería ser igual al $\langle B^kh_0,B^lh_0\rangle=\langle A^lB^kh_0,h_0\rangle$. Además, ¿qué es la fórmula de conmutador?

Answer 1

Mediante las sugerencias sugerencia, tenemos, con el colector de la fórmula $$\langle B^kh_0,B^lh_0\rangle =\langle AB^kh_0,B^{l-1}h_0\rangle\\ =\langle B^kAh_0,B^{l-1}h_0\rangle+nc\langle B^{k-1}h_0,B^{l-1}h_0\rangle.$$ El interés del colector fórmula es que el $Ah_0=0$, por lo tanto el uso de la $A$ está en el lado bueno. Así tenemos, para cada una de las $k,l\geqslant 1$, $$\langle B^kh_0,B^lh_0\rangle =nc\langle B^{k-1}h_0,B^{l-1}h_0\rangle.$$ Esto reduce la prueba para la verificación de ortogonalidad en el caso de $l=0$$k\geqslant 1$, lo que sigue a partir de los ya utilizados hechos que $\langle Af,g\rangle=\langle f,Bg\rangle$$Ah_0=0$.