En EGA (IV, §§ 20 - 21), la gavilla de funciones meromorfas $\mathscr{M}_X$ en un espacio anillado $(X, \mathscr{O}_X)$ se define como la gavilla asociada a la preseaf que asocia a un abierto $U \subset X$ la localización del anillo $\Gamma(U, \mathscr{O}_X)$ en sus elementos regulares. Existe un homormofismo canónico $\mathrm{div} : \Gamma(X, \mathscr{M}_X^*) \to \mathrm{Div}(X) = \Gamma(X, \mathscr{M}_X^*/\mathscr{O}_X^*)$ que asocia a una función meromorfa regular un divisor (de Cartier); y existe un homomorfismo $\mathrm{cyc} : \mathrm{Div}(X) \to Z^1(X)$ al grupo de ciclos unidimensionales que se define para positivo divisores $D \in \mathrm{Div}_+(X)$ como $$ \mathrm{cyc}(D) = \sum_{x \in X^{(1)}} \mathrm{long}_{\mathscr{O}_{X,x}} (\mathscr{O}_{D,x}) . \overline{\{ x \}} $$ (y se extiende de manera única a todo el grupo $\mathrm{Div}(X)$ ).
Cuando $X$ es un esquema localmente noetheriano Vakil (6.5.5) define el anillo de funciones racionales sobre $X$ como límite inductivo de los anillos $\Gamma(U, \mathscr{O}_X)$ a lo largo de la familia de conjuntos abiertos $U \subset X$ que contiene los puntos asociados. Señala que cuando $X$ es integral, este anillo es efectivamente isomorfo al "campo de funciones" tradicional, es decir, al tallo $\mathscr{O}_{X,\xi}$ de la hoja de estructura en el punto genérico $\xi$ . En la "Teoría de la intersección" de Fulton (§§ 1.4 - 1.5), para un esquema integral $X$ define el ciclo unidimensional asociado a una función racional $r \in K(X)^*$ por $$ [\mathrm{div}(r)] = \sum_{x \in X^{(1)}} \mathrm{ord}_x(r) . \overline{\{x\}} $$ donde $\mathrm{ord}_x : K(X)^* \to \mathbb{Z}$ es el homomorfismo definido por $$ \mathrm{ord}_x(r) = \mathrm{long}(\mathscr{O}_{X,x}/(a_x)) - \mathrm{long}(\mathscr{O}_{X,x}/(b_x)) $$ donde $a_x/b_x \in \mathrm{Frac}(\mathscr{O}_{X,x})$ es la fracción correspondiente a $r$ bajo el isomorfismo $K(X) \stackrel{\sim}{\to} \mathrm{Frac}(\mathscr{O}_{X,x})$ . (Creo recordar haber leído sobre tal isomorfismo en el libro de Liu, pero no lo tengo conmigo en este momento, así que no puedo estar seguro).
Tengo la impresión de que los términos "función racional" y "función meromorfa" se utilizan más o menos indistintamente (supongo que el primero es más popular en la literatura moderna). También creo que la definición de Grothendieck es una generalización de la segunda, pero no entiendo muy bien por qué. Además me gustaría entender cómo coinciden las definiciones del divisor asociado a una función racional.
