¿Iteración de potencia más pequeño valor propio?

Question

Necesito escribir un programa que calcula el más grande y el más pequeño (en términos de valor absoluto) valores propios utilizando tanto el Poder de la Iteración y la Inversa de la Iteración.

Me pueden encontrar con el Inverso de la Iteración, y también se puede encontrar la más grande utilizando el Método de la Potencia. Pero no tengo idea de cómo encontrar el más pequeño utilizando el Método de la Potencia. Traté de aplicar algún tipo de cambio como $A - \lambda_{max}I$, pero fue en vano.

Así que, ¿cómo puedo modificar el Método de la Potencia, de manera que se calcula el menor autovalor?

Gracias!

Answer 1

Si usted sabe que $A$ es simétrica positiva definida, entonces el desplazamiento espectral $B = A-\lambda_\max I$ va a trabajar. Utilizar el método de la potencia en $B$, a continuación, agregue $\lambda_\max$ el resultado para obtener el menor autovalor de a $A$.

La razón de este cambio es que las obras positivo-definida la matriz tiene todos los autovalores positivos. Por lo tanto, $B$ tiene todos los no-positivo autovalores, con el menor autovalor de a $A$ ahora el de mayor magnitud (más negativo) autovalor de a $B$. El método de la potencia entonces encontrará que autovalor.

El mismo enfoque funciona para la negativa definitiva de las matrices, por la misma razón.

Answer 2

Supongamos que $A$ es invertible y tiene valor propio $\lambda$. $A^{-1}$ Tiene valor propio $\lambda^{-1}$: esto sigue directamente de la ecuación de vector propio $$Av = \lambda v \Rightarrow \frac{v}{\lambda} = A^{-1}v.$ $

Desde el valor propio más pequeño de $A$ es el valor propio más grande de $A^{-1}$, se puede encontrar usando la iteración de la energía en $A^{-1}$:

$$v_{i+1} = A^{-1} \frac{v_i}{\|v_i\|}.$$

Lamentablemente ahora tienes que realizar un linear resolver en cada iteración (o calcular una descomposición de $A$), en lugar de sólo tomar productos matriz vector.