Calcular matemáticamente la probabilidad

Question

Un jugador de fútbol del rendimiento se registra como 'bueno' o 'malo'.

1. La probabilidad de que el jugador de fútbol funcionando bien después de que el día en que actuó bien es $3/4$.
2. La probabilidad de que él la realización de malo después de que el día en que actuó mal es $1/2$.
3. Dado que este jugador ha realizado mal el lunes, ¿cuál es la probabilidad de que le funciona bien el viernes ? $\left(~4\ \mbox{days later}~\right)$.

Yo era capaz de resolver este problema utilizando un gran diagrama de árbol. Pero el uso de un diagrama de árbol para este tipo de pregunta no es la mejor opción, ya que es fácil cometer errores en el medio y se tarda un montón de tiempo.

Cómo puedo definir esta situación matemáticamente ?.

Answer 1

Esto es una cadena de Markov completamente descrito por la matriz $$ P=\begin{pmatrix}\frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix} $ $ y la probabilidad deseada es $$ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}^T P^4 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\color{red}{\frac{85}{128}}$ $

Answer 2

Puede configurar esto como una repetición: $$P_{n+1}(well)=\frac34 P_n(well)+\frac12 P_n(bad)$ $ $$=\frac12 + \frac14 P_n(well)$ $

Así es le $P_0(well)=0$ y desea encontrar $P_4(well)$.

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

$\ds{m: \mathsf{m}\mbox{onday}\,,\ tu: \mathsf{tu}\mbox{esday}\,,\ w: \mathsf{w}\mbox{ednesday}\,,\ th: \mathsf{th}\mbox{ursday}\,,\ f: \mathsf{f}\mbox{riday}}$. $\ds{P_{d}}$ es la probabilidad de la realización de $\ds{\underline{well}}$ día $\ds{d = m, tu, w,th, fr}$. Tenga en cuenta que $\bbx{\ds{P_{m} = 0}}$.

\begin{align} P_{f} & = P_{th}{3 \over 4} + \pars{1 - P_{th}}{1 \over 2} = {1 \over 4}\,P_{th} + {1 \over 2}\implies P_{f} - {2 \over 3} = {1 \over 4}\pars{P_{th} - {2 \over 3}} \\[5mm] \mbox{Similarly},& \\ P_{f} - {2 \over 3} &= \pars{1 \over 4}^{2}\pars{P_{w} - {2 \over 3}} = \pars{1 \over 4}^{3}\pars{P_{tu} - {2 \over 3}} = \pars{1 \over 4}^{4}\pars{P_{m} - {2 \over 3}} = -\,{1 \over 384} \end{align}

A continuación, $\ds{P_{f} = {2 \over 3} - {1 \over 384} = \bbx{85 \over 128} \approx 0.6641}$.