Minimice $a$ pero garantizando la convergencia

Question

Acabo de responder a una pregunta de Math SE sobre si $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{n!^2}$$ era divergente. Por supuesto, es obviamente divergente. Pero entonces me picó la curiosidad y empecé a pensar en la convergencia/divergencia de la suma $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{n!^a}$$ En el primer problema, había demostrado que cada término era igual a $$\frac{n+1}{1}\cdot\frac{n+2}{2}\cdot...\cdot\frac{n+n}{n}$$ y por lo tanto nunca se hundió más bajo que $1$ . Sin embargo, si en su lugar tomamos $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{n!^4}$$ La suma parece converger (al menos, según Wolfram Alpha).

Me gustaría encontrar el más pequeño $a$ para el que converge la suma (o el mayor para el que diverge). Creo que converge para todos los $a \gt 2$ pero no tengo ni idea de cómo probar esta suposición.

¿Alguien tiene alguna pista para mí?

Gracias.

Answer 1

Pista: Aplique el prueba de relación .

Tendrá que conocer el tamaño de $$\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^a}$$ como $n\rightarrow \infty.$

Answer 2

Es bien sabido y no es difícil demostrar que $$ \frac{(2n)!}{n!^2}=\binom{2n}{n}\sim\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} \tag{1}$$ de ahí la convergencia absoluta de la serie dada para cualquier $a>2$ también se deduce de la comparación asintótica. Puede ser interesante observar que para $a=3$ tenemos $$ \sum_{n\geq 0}\binom{2n}{n}\frac{1}{n!} = e^2 I_0(2)\approx\frac{101}{6} \tag{2}$$ con $I_0$ siendo un función de Bessel modificada del primer tipo por ejemplo.