¿Hay una razón intuitiva del brachistochrone y del tautochrone son la misma curva?

Question

El brachistochrone problema pregunta de qué forma una colina debe ser por lo que una bola se desliza hacia abajo en el menor tiempo posible. El tautochrone problema pregunta de qué forma los rendimientos de una frecuencia de oscilación es independiente de la amplitud. La respuesta a ambos problemas es un cicloides.

Hay una razón intuitiva de por qué estos problemas tienen la misma respuesta?

Propuesta de definición operativa de "intuitivo": Imaginar modificar el problema ligeramente, ya sea para la brachistochrone túnel problema (túnel a través de la Tierra), o teniendo en cuenta el finito radio de la bola. Si la respuesta a la pregunta original es intuitiva, se debe ser fácilmente capaz de decir si modificar estas situaciones siguen teniendo el mismo brachistochrone y tautochrone curvas.

Answer 1

Aquí está una tarde-noche grieta en una mano-ondulado respuesta. El brachistochrone es realmente sobre el equilibrio de la maximización de los principios de la aceleración con la minimización de la distancia. Así, tiene sentido que la eliminación de algunas segmento inicial de la brachistochrone curva quita incrementos de la aceleración y la distancia a la que el equilibrio exactamente. En otras palabras, no importa donde usted comienza en el brachistochrone ruta de acceso, se debe tomar la misma cantidad de tiempo para llegar a la parte inferior. Por lo tanto la respuesta a la brachistochrone es la respuesta a la tautochrone.

Este razonamiento sugiere que la correspondencia entre las dos soluciones deben ser bastante general. Me pregunto si eso es cierto...