Un límite para encontrar sin utilizar l ' Hôpital ' regla s.

Question

Tengo que encontrar este límite sin utilizar la regla de l'Hôpital:

$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{5x+3}-\sqrt 3}{5^{\sin(7x)}-1}$$

No tengo ni idea cómo hacerlo. Regla de L'Hôpital es fácil, pero ¿cómo debo ir sobre esto calcular sin utilizar la regla?

Debo añadir que no se supone que yo use nada pero los métodos más básicos y hechos. Estaba pensando debo usar el teorema del apretón, pero no estoy viendo los presupuestos que trabajan.

Answer 1

Usted necesitará utilizar las identidades siguientes: $$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,\hspace{10pt} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ $ entonces $5^{\sin(7x)}=e^{\sin(7x)\ln5}$, que $$\lim_{x\to 0}\frac{5^{\sin(7x)}-1}{\sin(7x)\ln5}=\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1$ $ usando cambio de variable $t=\sin(7x)\ln5$.
¿Por lo tanto: $$\begin{align*}\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{5x+3}-\sqrt 3}{5^{\sin(7x)}-1}&=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{5x+3}-\sqrt 3}{5^{\sin(7x)}-1}\frac{\sqrt{5x+3}+\sqrt 3}{\sqrt{5x+3}+\sqrt 3}\frac{\sin(7x)\ln5}{\sin(7x)\ln5}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{\sin(7x)\ln5}{5^{\sin(7x)}-1}\frac{1}{\sqrt{5x+3}+\sqrt 3}\frac{7x}{\sin(7x)}\frac{5}{7\ln5}\end{align*} $$ puede usted continuar?

Answer 2

Multiplique la parte superior e inferior por $x$.

Primero vamos a tratar con $$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{5x+3}-\sqrt{3}}{x}.$$ Si el $x$ se $h$, queremos reconocer que el límite es, por definición, la derivada de $f(t)=\sqrt{5t+3}$$t=0$. Para calcular la derivada, mediante la diferenciación de las fórmulas. Evaluar la derivada en $t=0$, y se llamara $A$.

Queda por encontrar $$\lim_{x\to 0}\frac{5^{\sin 7x}-1}{x}.$$ De nuevo, por definición, esto es la derivada de la función $5^{\sin 7t}$$t=0$. Calcular la derivada en $0$ con $5^y=e^{y\log 5}$. Deje $B$ es el valor de la derivada en $t=0$.

A continuación, la respuesta a nuestro problema de límite de es $\dfrac{A}{B}$.

Answer 3

Sugerencia: En cuanto el nominador estándar $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ truco debe hacer el trabajo. En cuanto al denominador, puede expandir $5^{\sin 7x}$ en su serie de Taylor (el término lineal debería bastar) y límite de ambos lados y usar este lema.