Varias pruebas del teorema de Hahn Banach.

Question

He estado viendo varias versiones de Hahn teorema de Banach . Hay algunas confusiones que me gustaría aclarar . 1) En algunas pruebas que asumir la existencia de un sublinear funcional y funcional $f$ debe satisfacer $\le$ condición para la sublinear funcional $p$ . No siempre existe un sublinear funcional ? En algunas pruebas no dicen nada acerca de la sublinear funcional , es malo ?

2) no soy capaz de apreciar la inducción , porque supone la existencia de la extensión lineal funcional y, finalmente, dice que el máximo elemento debe ser el Espacio en sí mismo ? Yo, particularmente, tengo un problema en la aplicación de la primera inducción paso.

Me gustaría tener un poco de conocimiento acerca de mis confusiones y malentendidos . Gracias

Answer 1

Para (1), en la mayoría de las aplicaciones que estamos trabajando en una normativa espacio de $(X, \|\cdot\|)$, y aplicamos normalmente el de Hahn-Banach teorema con el sublinear funcional $p(x) = c \|x\|$ para algunas constantes $c > 0$ (usted puede verificar esto es, de hecho, sublinear). Por ejemplo, si tenemos un acotado funcional lineal sobre un subespacio $M$ (de modo que $\|f(x)\| \le c \|x\|$ todos los $x \in M$), la aplicación de Hahn-Banach con $p(x) = c\|x\|$ produce una limitada extensión de $f$ a todos los de $X$.

Para (2), es difícil ser específico sin ver la prueba de que usted está mirando, pero, básicamente, el paso clave de la prueba es que puede ampliar la funcionalidad para una mayor subespacio (en el que el anterior subespacio ha codimension 1). La inducción garantiza que usted puede repetir este proceso de extensión de la una y otra vez, y usted nunca tiene que parar hasta que el subespacio es todo de $X$, momento en el que se realizan.