Álgebra lineal numérica

Question

Si $X$ es una apropiada inversa de la matriz nonsingular $A\in \mathbb C^{n\times n}$ entonces dos diferentes medidas de la calidad de $X$ $\|AX - I\|$ y $\|XA - I\|$. ¿Cuál es el factor más grande que pueden diferenciar estas dos cantidades?

Gracias

Answer 1

En el siguiente voy a hacer uso de la propiedad sub-multiplicative de las normas de la matriz, es decir, si $A,B$ son matrices tales que $AB$ existe, entonces $||AB|| \le ||A|| \cdot ||B||$ $||\cdot||$ Dónde está la norma de una matriz.

Supongamos que $A$ es invertible. Que $X$ ser cualquier matriz de $n \times n$. Entonces el $||AX-I||=||A(X-A^{-1})||=||A(XA-I)A^{-1}|| \le ||A(XA-I)|| \cdot ||A^{-1}|| \le ||A|| \cdot ||XA-I|| \cdot ||A^{-1}||$% y tan $\frac{||AX-I||}{||XA-I||} \le ||A|| \cdot ||A^{-1}|| = \kappa(A)$, donde $\kappa(A)$ es el número de condición de $A$.

Por un argumento similar puede mostrar que $\frac{||XA-I||}{||AX-I||} \le \kappa(A)$ así.