¿Es la métrica en el círculo, inducido desde el avión, no un plano?

Question

Mi pregunta se refiere a la parte resaltada publicado a continuación, a partir del artículo de la Wikipedia. (Enlace a la revisión en el momento de este post.)

Yo diría que no se puede detectar la curvatura del círculo unitario si me voy a lo largo de la trayectoria curva dentro de ${\mathbb R}^2$. La inducida por la métrica mide el unidimensional de longitud y se olvida de que el avión.

Entonces, ¿por qué la inducida por la métrica no ser plana?

---

Answer 1

La página de Wikipedia que ha citado es incorrecta acerca de métricas en el círculo. La página de Wikipedia sobre curvatura señala correctamente que las curvas 1-dimensional no tiene una curvatura intrínseca.

Answer 2

Depende de que tipo de "métrica" que estamos mirando.

Si vemos el círculo unitario y el plano como colectores de Riemann, entonces la métrica de Riemann en el círculo inducida por su integración en el plano de hecho es plana. Aquí estamos hablando de métricas de Riemann, que sólo funcionan a nivel local.

Sin embargo, si usted toma los dos colectores de Riemann y obtener un global de la función de distancia en cada una de ellas como la distancia geodésica entre dos puntos, te los hacen en espacios métricos. En el caso del plano, esto produce la habitual distancia Euclidiana.

Sin embargo, como métrica de los espacios, de la métrica en el círculo unitario es no es la misma que la métrica se obtiene como un subconjunto de a $\mathbb R^2$.

Dos puntos opuestos en el círculo unidad ha distancia $\pi$ en la métrica de la distancia geodésica dentro del círculo, mientras que su distancia en la métrica heredado del espacio métrico $\mathbb R^2$$2\neq \pi$.

Answer 3

Creo que estás en lo correcto, pero la sutil punto aquí es la definición de la curvatura. Usted puede definir la curvatura de, por ejemplo, un plano de la curva, como la tasa de cambio de una unidad de campo de vectores normales a la curva. Tenga en cuenta que esta cantidad es extrínseca, es decir, depende de una opción de incrustar en el plano de la curva. Por ejemplo, un círculo de radio $r$ $\mathbb{R}^2$ tiene curvatura extrínseca $\frac{1}{r}$ en este sentido

Por otro lado, hay una intrínseca de la noción de curvatura de Riemann colector que puede ser computado únicamente a partir de la métrica y de hecho ésta es $0$ para el círculo independiente de la elección de la métrica (la de Riemann tensor de curvatura se desvanece a menos que la dimensión es $\geq 2$ pero razones formales). Así, un estado en el que la curvatura de un círculo es $0$, si no hay ninguna opción de incrustar en un espacio ambiente aparente.

Espero que esto ayude!