Inyección de $\{f: \mathbb{N} \to \{0,1\} \} \to [0,1]$.

Question

Para una prueba que $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$ he creado la siguiente función. \begin{align*} \varphi: \{f: \mathbb{N}\to \{0,1\} \} &\to [0,1]\\ f &\mapsto 0,f(1)f(2)f(3).... \end{align*} creo que es inyectiva, para suponer $\varphi(f)=\varphi(g)$. A continuación, $\forall n \in \mathbb{N}, f(n)=g(n)$, que $f=g$.

¿Mi pregunta es, me falta algo? Porque a menudo me encuentro con más inyecciones para esta prueba. ¿Tal vez la funcion $\varphi$ no está definida debido a representación decimal no es único en [0,1] (pero no veo cómo esto podría ser un problema con sólo 0 y 1 de como decimales)?

Gracias de antemano.

Answer 1

Sí, esto está bien. Semejantemente si restringe a cifras en el conjunto de $\{0,2\}$ en lugar del sistema $\{0,1\}$ e interpretas las secuencias de dígitos en base 3 en vez de en basan diez, usted recibirá una inyección de $\{0,2\}^\mathbb{N}$ $[0,1]$ y la gama de esta inyección será el conjunto de Cantor de "medio-tercios".

Esta versión del argumento es el que se usa generalmente para mostrar que el conjunto de Cantor "tercios medio" está en correspondencia biyectiva con el conjunto de infinitas cadenas sobre un alfabeto de dos elementos.

Answer 2

El mapa es inyectivo exactamente como usted ha dicho: porque reales con una expansión decimal que consta sólo de $0$ y $1$ tienen una expansión decimal única.