El significado físico de ${n \choose k} = {n \choose n-k}$.

Question

Dicen que $${n \choose k}={n \choose n-k}.$$

Puede alguien explicar su significado físico?

---

Entre los muchos problemas que el uso de esta prueba, he aquí un ejemplo:

El alfabeto inglés tiene $26$ letras de los cuales, $5$ son vocales (e $21$ consonantes).

Cuántas $5$-de la carta de las palabras podemos formar mediante el uso de $3$ diferentes consonantes y $2$ diferentes vocales?

Entiendo que la respuesta dice que tenemos:

$$P(21,3) = 21\times 20\times 19 = 7980\ ,$$

y

$$P(5,2) = 5\times4 = 20\ .$$

Tenemos las permutaciones para cada categoría. Ahora debemos colocar en las $5$ lugares, pero se dice que esto es hecho por la informática:

$C(5,3)$ y lo explica así: Para cada caso, el resto de las cartas serán vocales.

(No se supone que debemos comprobar que caso?)

Termina multiplicando los tres juntos: $C(5,3)\times P(21,3)\times P(5,2)$

Answer 1

$$\begin{align} \dbinom{6}{2} & \longleftrightarrow \dbinom{6}{6-2} \\[8pt] AB & \longleftrightarrow CDEF \\ AC & \longleftrightarrow BDEF \\ AD & \longleftrightarrow BCEF \\ AE & \longleftrightarrow BCDF \\ AF & \longleftrightarrow BCDE \\ BC & \longleftrightarrow ADEF \\ BD & \longleftrightarrow ACEF \\ BE & \longleftrightarrow ACDF \\ BF & \longleftrightarrow ACDE \\ CD & \longleftrightarrow ABEF \\ CE & \longleftrightarrow ABDF \\ CF & \longleftrightarrow ABDE \\ DE & \longleftrightarrow ABCF \\ DF & \longleftrightarrow ABCE \\ EF & \longleftrightarrow ABCD \end {Alinee el} $$ son exactamente como muchas formas de elegir $2$ de $6$ en cuanto a elegir $6-2$ de $6$ ya que cada manera de elegir $2$ de $6$ tiene una forma correspondiente de elegir $6-2$ de $6$ y vice-versa.

Answer 2

Considere la posibilidad de una colección de $n$ objetos. La elección de $k$ de ellos se va a colocar en un conjunto es equivalente a la elección de $n-k$ dejar fuera.

Editar: Considere la posibilidad de una escuela secundaria de dodgeball juego con un equipo rojo y equipo azul. Hay $n$ total de estudiantes, y el equipo azul ha $k$ de los estudiantes. Dado que cada estudiante juega, hay $n-k$ de los estudiantes en el equipo rojo.

Debido a que el profesor de educación física es sesgada, él permite que el equipo azul recoger todos sus jugadores de primera. Tienen $\binom{n}{k}$ maneras de hacer esto. Después de eso, el equipo rojo tiene ninguna de las opciones. Se debe recoger todos los restantes $n-k$ de los estudiantes.

Habrá igual número de maneras de hacer esto si el maestro estaba sesgada hacia el rojo, por lo $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.

Answer 3

Cuando tenemos $n$ objetos para elegir, y elegimos incluir $k$ de ellos, hay maneras de ${n\choose k}$ de elección de estos objetos. Sin embargo, al mismo tiempo estamos eligiendo no incluir objetos $n-k$ y ${n \choose n-k}$ maneras de excluir a estos objetos. Por lo tanto tenemos que ${n \choose k} = {n \choose n-k}$.

Answer 4

La simetría de la recapitulación.

$$ (x+y)^n - (y+x)^n = 0, $$

así

$$ \sum_{k=0}^n {n \elegir k} x^k y^{n-k} - \sum_{k=0}^n {n \elegir k} y^k x^{n-k} = 0, $$

de dónde

$$ \sum_{k=0}^n \left[ {n \elegir k} - {n \elegir n-k} \right] x^k y^{n-k} = 0, $$

como válido para aribtrary $x$ $y$ obtenemos

$$ {n \elegir k} = {n \elegir n-k} $$

---

El significado físico - de hecho...

Dado son $(k)$ bolas blancas y $(n-k)$ bolas negras, podemos formar $\displaystyle n \choose \displaystyle k$ permutaciones.

Dado son $(n-k)$ bolas blancas y $(k)$ bolas negras, podemos formar $\displaystyle n \choose \displaystyle n-k$ permutaciones.

Ambos casos son simétricos (bola negra $\leftrightarrow$ bola blanca), por lo que

$$ {n \elegir k} = {n \elegir n-k } $$

Answer 5

Si tienes cajas de #% de #% % de $n=a+b$ contiene una bola y $a$ vacío, usted puede elegir $b$contener una bola en forma de $a$ o $\binom na$ vacías de $b$ maneras. Los dos son claramente equivalentes, porque está contando lo mismo.