Ley de medio excluido y contraposición

Question

¿Equivalencia de verdad de una $A \rightarrow B$y contrapositive $\neg B \rightarrow \neg A$ dependen de la ley del medio excluido?

Answer 1

Considere la siguiente prueba:

$\quad \B\\ \quad\quad|\quad\neg B\\ \quad\quad|\quad\quad|\quad\\ \quad\quad|\quad\quad|\quad B\\ \quad\quad|\quad\quad|\quad \bot\\ \quad\quad|\quad\neg\\ \quad \neg B \a \neg$

Asumimos $\neg B$ en la segunda línea, a continuación, hacer hipótesis de $A$, y el uso de modus ponens para obtener una contradicción. Para la segunda hipótesis que debe ser falsa. Así que la suposición de $\neg B$ implica $\neg A$: la que nos da el derecho a la conclusión de $\neg B \to \neg A$. Que muestra $A \to B$ implica $\neg B \to \neg A$, sin apelar a ningún medio excluido o un equivalente.

Pero eso es sólo la mitad del trabajo: ¿qué acerca de la implicación inversa? Vamos a empezar tratando de demostrar que:

$\quad \neg B \a \neg\\ \quad\quad|\quad\\ \quad\quad|\quad\quad|\quad \neg B\\ \quad\quad|\quad\quad|\quad \neg\\ \quad\quad|\quad\quad|\quad \bot\\ \quad\quad|\quad\neg\neg B\\ \quad\quad|\quad B\\ \quad \a B$

Ahora, que el argumento funciona en la lógica clásica, pero, fundamentalmente, hemos utilizado la regla de que a partir de $\neg\neg\varphi$ podemos inferir $\varphi$. Y que la regla es famosa por su equivalente (en el estándar de suposiciones de fondo) a la ley del medio excluido.

OK eso es sólo un intento de que falla sin (un equivalente a la regla) a medio excluido. Pero, de hecho, no se puede argumentar a partir de las $\neg B \to \neg A$ $A \to B$intuitionisitically, es decir, en la lógica habitual que las gotas de medio excluido.

En resumen, sólo una dirección de la clásica de la equivalencia de las $A \to B$ $\neg B \to \neg A$ retenciones en la habitual lógica sin medio excluido.

Answer 2

Parece que no, sino más bien, en la ley de la no contradicción. Asumir

1. $A\implies B$
2. $\neg B$

Ahora, para obtener una contradicción, supongamos $A$. Luego tenemos a $B$ a partir de (1). Pero tenemos $\neg B$ a partir de (2), por lo que por la ley de la no contradicción, se sigue que no ha $\neg A$, y, finalmente, tenemos $\neg B \implies \neg A$.

La diferencia entre esta y la ley del medio excluido es sutil, pero que está ahí. Con el fin de demostrar a través de la ley de medio excluido, tocábamos a cabo la asunción (2), y en lugar de asumir la $\neg (\neg B\implies \neg A)$, y a partir de aquí se deriva una contradicción, produciendo $\neg \neg (\neg B \implies\neg A)$, y por la ley del medio excluido, concluiríamos que $\neg B \implies \neg A$.

Para más información sobre la distinción, ver aquí.

Answer 3

No, No es así.

En Lukasiewicz de tres valores de la lógica tenemos que la Cabina es verdad-funcionalmente equivalente a CNbNa y CNbNa es verdad-funcionalmente equivalente a la Acb, pero ApNp no es una tautología. Aquí está el pertinente de tres valores de verdad de las tablas, donde "f" es la falsedad, la "n" indica el tercer valor de verdad, y "t" de la verdad.

C   f  n  t  N  A  f  n  t
f   t  t  t  t  f  f  n  t
n   n  t  t  n  n  n  n  t
t*  f  n  t  f  t  t  t  t

Así, las tablas de verdad de la Cabina y CNbNa podemos escribir de la siguiente manera:

a  b  Na  Nb  Cab  CNbNa
f  f  t   t   t    t
f  n  t   n   t    t
f  t  t   f   t    t
n  f  n   t   n    n
n  n  n   n   t    t
n  t  n   f   t    t
t  f  f   t   f    f
t  n  f   n   n    n
t  t  f   f   t    t

Pero, AnNn=Ann=n, y por lo tanto la ley del medio excluido no es una tautología.

También se puede demostrar que a partir de Wajsberg la virtud del desprendimiento y uniforme de sustitución

1. CCpqCCqrCpr
2. CpCqp
3. CCCpNppp
4. CCNpNqCqp

que CCpqCNqNp de la siguiente manera.