Cuántos tríos de números verdaderos (x,y,z) que satisfacerán: (x+y)3=z$$(y + z)^3 = x $$(z + x)^3 = y
Necesito algunos enfoques para solucionar este problema.
Cuántos tríos de números verdaderos (x,y,z) que satisfacerán: (x+y)3=z$$(y + z)^3 = x $$(z + x)^3 = y
Necesito algunos enfoques para solucionar este problema.
Hay que buscar soluciones de la forma x=y=z=a. Nuestras ecuaciones reducir a (2a)3=a, que tiene las soluciones a=0a=±2−3/2.
Ahora a buscar soluciones donde no todas las variables son iguales. Por definición, buscar soluciones con x<z.
Si x<z, x+y<y+z y, por tanto,(x+y)3<(y+z)3. De las dos primeras ecuaciones, se deduce que el z<x, lo cual es imposible.
Por lo tanto, hay 3 triples que satisfacen el sistema de ecuaciones.
Uno puede escribir hasta la misma idea de partida de x≤z y concluyendo que el z≤x, lo que muestra que x=z. Así que para una solución, debemos tener x=y=z.
Otros enfoques: boceto más "algebraica" enfoque, que pasa a ser más trabajo. De las dos primeras ecuaciones, obtenemos (x+y)3−(y+z)3=z−x. Deje Z=x+yX=y+z. La factorización de la expresión Z3−X3 a la izquierda, obtenemos (Z−X)(Z2+ZX+X2)=(x−z)(Z2+ZX+X2)=z−x. Si z≠x, esto obliga a Z2+ZX+X2=−1. Pero esta última ecuación no tiene soluciones reales. Hay muchas maneras de ver esto, como el de la Fórmula Cuadrática. Una manera más lindo es tener en cuenta que 4(Z2+ZX+X2)=(2Z+X)2+3X2≥0. Así que debemos tener z=x. Del mismo modo, z=y, y terminamos buscando soluciones de (2a)3=a.
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