Cuántos tríos de números verdaderos $(x, y, z)$ que cumplan estas restricciones de $3$:

Question

Cuántos tríos de números verdaderos $(x, y, z)$ que satisfacerán: $$(x + y)^3 = z$ $$$ (y + z)^3 = x $$(z + x)^3 = y

Necesito algunos enfoques para solucionar este problema.

Answer 1

Hay que buscar soluciones de la forma $x=y=z=a$. Nuestras ecuaciones reducir a $(2a)^3=a$, que tiene las soluciones $a=0$$a=\pm 2^{-3/2}$.

Ahora a buscar soluciones donde no todas las variables son iguales. Por definición, buscar soluciones con $x \lt z$.

Si $x \lt z$, $x+y \lt y+z$ y, por tanto,$(x+y)^3 \lt (y+z)^3$. De las dos primeras ecuaciones, se deduce que el $z \lt x$, lo cual es imposible.

Por lo tanto, hay $3$ triples que satisfacen el sistema de ecuaciones.

Uno puede escribir hasta la misma idea de partida de $x \le z$ y concluyendo que el $z\le x$, lo que muestra que $x=z$. Así que para una solución, debemos tener $x=y=z$.

Otros enfoques: boceto más "algebraica" enfoque, que pasa a ser más trabajo. De las dos primeras ecuaciones, obtenemos $$(x+y)^3-(y+z)^3=z-x.$$ Deje $Z=x+y$$X=y+z$. La factorización de la expresión $Z^3-X^3$ a la izquierda, obtenemos $$(Z-X)(Z^2+ZX+X^2)= (x-z)(Z^2+ZX+X^2)=z-x.$$ Si $z \ne x$, esto obliga a $Z^2+ZX+X^2=-1$. Pero esta última ecuación no tiene soluciones reales. Hay muchas maneras de ver esto, como el de la Fórmula Cuadrática. Una manera más lindo es tener en cuenta que $$4(Z^2 +ZX+X^2)=(2Z+X)^2+3X^2 \ge 0.$$ Así que debemos tener $z=x$. Del mismo modo, $z=y$, y terminamos buscando soluciones de $(2a)^3=a$.