¿Es correcta mi prueba de la unicidad de $0$?

Question

Estoy trabajando mi camino a través de "Análisis Matemático" por el Apostol.

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Lo que estoy tratando de demostrar es que si no existe $q_{1}$ $q_{2}$ tal que $x + q_1 = x$$y+q_2=y$, $q_1=q_2$

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A veces voy a estar usando $q$ para denotar $0$

Estoy usando la primera $4$ campo axiomas del libro:

Axioma 1: Conmutativas Leyes

$x+y=y+x$, $xy=yx$

Axioma 2: Leyes Asociativas

$x+(y+z)=(x+y)+z$, $x(yz)=(xy)z$

Axioma 3: Ley Distributiva

$x(y+z)=xy+yz$

Axioma 4:

Dados cualesquiera dos números reales $x$$y$, existe un número real $z$ tal que $x+z=y$. Esta $z$ se denota por a $y-x$; el número de $x-x$ se denota por a $0$ (se puede demostrar que $0$ es independiente de $x$.) Escribimos $-x$ $0-x$ y llame a $-x$ la negativa de $x$.

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Lema 1: $x + 0 = x$

Del axioma 4 se nos garantiza una $z$ tal que $x+z=x$. Esta $z$ se denota por a $x-x$, que se denota por a $0$

Por lo tanto $x+z=x \Longrightarrow$ $x+0=x$

Lema 2: $x+(-x)=0$

Podemos reescribir la anterior como $x + (0-x)$, lo que, a partir de la definición de axioma 4, evalúa a $0$

Lema 3: Si $x+q_a=x$, e $x+q_b=x$, $q_a=q_b$

A partir de la primera frase del axioma 4 se nos garantiza al menos un $q_a$ tal que

$x + q_a = x$

Si $q_a$ es no singular, entonces también tendremos

$x+q_b=x$

$x+q_a=x+q_b$

Agregar $(-x)$ a ambos lados

$(x+q_a)+(-x)=(x+q_b)+(-x)$

Propiedad Conmutativa

$(q_a+x)+(-x)=(q_b+x)+(-x)$

Asociativa Proprety

$q_a+(x+(-x))=q_b+(x+(-x))$

Lema 2

$q_a + 0=q_b+0$

Lema 1

$q_a=q_b$

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Ahora para la prueba real:

Estamos tratando de demostrar que si existe el $q_{1}$ $q_{2}$ tal que $x + q_1 = x$$y+q_2=y$, $q_1=q_2$

La primera frase en el axioma 4, se nos garantiza $q_1$ $q_2$ tal

$x + q_1 = x$

$x+q_2=x$

Por el lema 3, tenemos la garantía de que si

Por el axioma 4 garantizada la existencia de una $z$ tal que

$x+z=y$

Ahora sustituimos

$(x+z)+q_2=(x+z)$

Agregar $(-z)$ a ambos lados

$((x+z)+q_2)+(-z)=(x+z)+(-z)$

Asociativa y conmutativa las propiedades de llevar a

$x+q_2 + (z+(-z))=x+(z+(-z))$

$x+q^2=x$

Por el lema 3 tenemos la garantía de que si $x+q_1=x$, e $x+q_2=x$, $q_1=q_2$

Por lo tanto, $q_1=q_2$ así que hemos completado la prueba.

Answer 1

Esto es correcto, pero como se señaló en los comentarios, esto es demasiado masiva cuando se trata de la complejidad. $q_1=q_1+q_2=q_2$ donde la primera igualdad tiene ya $q_2$ es la identidad aditiva y la segunda es porque $q_1$ es la identidad aditiva. Así por la propiedad transitiva de la igualdad, hemos terminado.

Answer 2

Usted puede una línea (véase el comentario de Rubertos). Dicho esto, lo único que escribes que yo podría llamar "incorrecta" es cuando usas q1, q2, y 0. Si son suponiendo que q1 y q2 son las identidades bajo adición y su objetivo es mostrar que son iguales, no quieren lanzar un tercero en la mezcla. Dado que q1 y q2 tienen las mismas propiedades como 0, utilice q1 o q2 en lugar de 0 todo que serán trabajar el tiempo y los mismos argumentos.