La Lemma de Fatou dice lo siguiente:
Si $(f_n)$ es una secuencia de funciones extendidas de valor real, no negativas y medibles definidas en un espacio de medida $ \left ( \mathbf {X}, \mathcal {X}, \mu\right )$ Entonces $$ \int\lim\inf f_n d \mu \leq \lim\inf \int f_n d \mu. $$
En la declaración del lema de Fatou al revés hay un requisito adicional de que la secuencia dada esté dominada por una función integrable. Estoy interesado en entender qué se rompe si esta condición no se cumple. Para mayor claridad y notación, aquí está la declaración del lema inverso de Fatou:
Deje que $(f_n)$ ser una secuencia de funciones extendidas de valor real definidas en un espacio de medida $ \left ( \mathbf {X}, \mathcal {X}, \mu\right )$ . Si existe una función integrable $g$ en $ \mathbf {X}$ de tal manera que $f_n \leq g$ para todos $n$ Entonces $$ \lim\sup\int f_n d \mu \leq \int\lim\sup f_n d \mu. $$
De nuevo, tengo curiosidad por saber qué pasa si no se cumple la condición adicional de que la secuencia sea dominada. En las pruebas que he visto del lema de Fatou al revés todos se han aprovechado del hecho de que las funciones están dominadas, pero no veo por qué no puede haber una prueba de la desigualdad que no utilice esta suposición.
Mi interés se despertó aún más por el siguiente problema que encontré en Elementos de Integración y Medida de Lebesgue de Bartle:
Deje que $(f_n)$ ser una secuencia de funciones extendidas de valor real, no negativas, definidas en $ \left ( \mathbf {X}, \mathcal {X}, \mu\right )$ , $f_n \to f$ y dejar que $ \int f d \mu = \lim \int f_n d \mu < \infty. $ Demuestra que para cualquier $E \in \mathcal {X},$ $$ \int_E f d \mu = \lim \int_E f_n d \mu. $$
Pude probar esto a través de dos aplicaciones del Lema de Fatou y el uso de la identidad agradable $ \lim\sup (-f_n) =- \lim\inf (f_n)$ . Pero hubo otra prueba que abandoné después de no poder probar que el Lema de Fatou invertido se sostenía con las hipótesis dadas.
Cualquier idea es muy apreciada.
