Ley de la expectativa total
Si $\mathbb{E}\big[|X|\big]$ finitos entonces cualquier $Y,\;\mathbb{E}\big[\mathbb{E}[X\mid Y]\big]=\mathbb{E}[X]$
Recuerdo leer esto por primera vez y pensar... sostener, ¿qué?
La prueba es simple, pero me pregunto si hay una razón intuitiva ¿por qué podemos esperar este resultado?
La expectativa condicional de $X$ con respecto a los $Y$ es nuestra mejor estimación de $X$ dado conocimiento exacto de $Y.$ la expectativa de cualquier variable es nuestra mejor estimación, no dado en absoluto ningún conocimiento específico sobre cualquier variable. Parece razonable entonces que nuestro a priori expectativa de la variable $E[X|Y]$ antes de que tenemos conocimiento de $Y$ es sólo la expectativa general de $X.$
Eso depende de por qué esto es violar su intuición. Para mí, la intuición básica detrás de esto es, $E(X)$ es el valor esperado de la variable aleatoria $X$, a través de todas las condiciones posibles. Para cualquier variable aleatoria $Y$, vamos a $y_1, y_2, y_3, \ldots$ representan los posibles valores de $Y$. A continuación, estos $y_i$ son también, en cierto sentido, un "cover set" de todas las condiciones posibles, y por lo tanto, si usted hace una media ponderada de los valores esperados condicionales $E(X \mid Y)$, usted debe obtener el total valor esperado de $X, E(X)$.
Supongamos que sabemos que la expectativa del evento$X$$E[X]$. Y ahora se supone que hay algo más en el mundo - esto es $Y$. Tendrá conocimiento de la realización de $Y$ cambiar la expectativa de $X$? Sí, tal vez. Esto es $E[X\mid Y=y]$ que es diferente de $E[X]$. Pero no sabemos la realización de $Y$. Sólo sabemos sus valores posibles y la probabilidad de que cada valor de $Y$ se produce y nada más. Esto es $E[E[X\mid Y]]$. Así, este conocimiento acerca de las posibilidades de $Y$ cambiar nuestra expectativa sobre la $X$? Parece intuitivo que no debería.
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