¿Es posible elegir continuamente un subespacio unidimensional en cada subespacio k-dimensional?

Question

¿Existe un mapa continuo de la variedad de Grassmann al espacio proyectivo $Gr^n(V) \to \mathbb P(V)$ ¿tal que la imagen de cada subespacio n-dimensional se encuentra (subespacio 1-dimensional) en este subespacio? Quiero decir que elegimos el subespacio de 1 dimensión en cada espacio de n dimensiones de forma continua. O, al menos, en los casos simples $Gr^2(\mathbb R^3) \to \mathbb P(\mathbb R^3)$ y $Gr^2(\mathbb R^4) \to \mathbb P(\mathbb R^4)$ ?

Answer 1

La existencia de un subfondo unidimensional $E$ del haz tautológico n-dimensional $\tau(Gr^n(V))$ implica $\tau(Gr^n(V))=E+E^\perp$ y la clase superior de Stiefel-Whitney $w_n(\tau(Gr^n(V)))=0$ . Pero existe el siguiente diagrama

$$\begin{array}{ccl} \tau&\longrightarrow&\tau&=&EO(n)\\ \downarrow&&\downarrow&&\;\;\;\downarrow\\ Gr^n(V)&\stackrel{i}\longrightarrow&Gr^n(\infty)&=&BO(n)\\ \end{array}$$

induciendo

$$\begin{array}{ccl} H^n(BO(n))&\stackrel\sim\longrightarrow&H^n(Gr^n(V))\\ w_n(EO(n))&\mapsto&w_n(\tau(Gr^n(V)))&=&0 \end{array}$$

así que $w_n(EO(n))=0$ y todos los haces n-dimensionales deben tener la clase superior de Stiefel-Whitney 0, contradicción.