¿Por qué la métrica FLRW asume la constante curvatura?

Question

Así que la métrica FLRW toma el siguiente formulario reducida de la circunferencia en coordenadas polares.

$$ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t) \left(\frac{dr^2}{1 - k\, r^2} + r^2 (d\theta^2+sin^2\theta\, d\phi^2)\right)$$

Para mí está claro cómo esto se deriva de las restricciones de la cosmológica principio aplicado a la más general posible métrico, pero lo que no me queda claro es la razón detrás de asumir una curvatura constante plazo $k$. No puede ser dependiente de la posición y ser compatible con el principio cosmológico, pero me parece que debería tener la libertad de ser dependiente del tiempo, tanto como el factor de escala de tiempo que varía en todas partes la misma. Hay algunos coordinar redefinición posible que la dependencia del tiempo puede ser eliminado o me estoy perdiendo de algo más?

Answer 1

Definición 1. Un espacio-tiempo se dijo que para ser espacialmente homogénea si hay una familia de un parámetro de spacelike hypersurfaces $\Sigma_t$ foliating el espacio-tiempo tal que para cada una de las $t$, y para cualquiera de los puntos de $p,q\in\Sigma_t$ no es una isometría del espacio-tiempo métricas $g$ que se lleva a $p$$q$.

Definición 2. Un espacio-tiempo que se dice ser isotrópico si en cada punto hay una congruencia de timelike de curvas y tangentes denotado $u$, satisfactorio: Dado cualquier punto p y dos de la unidad de spacelike vectores en $T_pM$, no es una isometría de $g$, lo que deja a $p$ $u$ fijo, pero gira uno de estos spacelike vectores en el otro.

Restringir $g$ a una métrica de Riemann $h$$\Sigma_t$. La geometría de cada "hoja" de la foliación debe heredar de la homogeneidad y la isotropía.

Deje ${}^{(3)}\operatorname{Riem}$ ser el tensor de Riemann en $\Sigma_t$, $R_\Sigma$ ser el escalar de curvatura y $T$ ser el campo de tensores $$T(X,Y)Z=6\left[h(Z,Y)X-h(Z,X)Y\right]$$ para campos vectoriales $X,Y,Z$.

Teorema. La homogeneidad y la isotropía de $\Sigma_t$ $\Leftrightarrow$ ${}^{(3)}\operatorname{Riem}=R_\Sigma T$, $R_\Sigma=\text{const.}$

Prueba. Construir el tensor de Riemann de $\Sigma_t$$h$. Uno puede ver esto como un endomorfismo $L$ del espacio de $2$formas de $W$. Por las propiedades de simetría del tensor de Riemann, $L$ es simétrica, y por un teorema de álgebra lineal, $W$ tiene una base ortonormales de vectores propios de a $L$. Si los autovalores son distintos, uno podría recoger una preferido $2$-forma en $\Sigma_t$. El uso de la estrella de Hodge en $\Sigma_t$, uno podría, a continuación, construir un vector preferente. Ya que esto violaría la isotropía, los valores deben ser iguales. Llamamos a este valor $K$: $$L=K\operatorname{id}_W$$ En otras palabras, $${}^{(3)}R_{ab}{}^{cd}=K\delta^c{}_{[a}\delta^d{}_{b]}$$ donde ${}^{(3)}R_{ab}{}^{cd}$ son los componentes de ${}^{(3)}\operatorname{Riem}$. Contratantes todo apropiadamente da $$R_\Sigma=3K$$ Homogeneidad automáticamente corrige $K$ a de ser una constante. $\quad\Box$

Esta prueba sigue muy de cerca la de Wald, R. M. 1984, la Relatividad General (Chicago University Press).

Answer 2

La métrica FLRW comienza con "la hipótesis de homogeneidad e isotropía del espacio". Pero Einstein describe un campo gravitatorio como el espacio que es "ni homogénea ni isotrópica" :

Por lo tanto la configuración de la expansión de un lado, por el universo como un todo no hay en general un campo gravitacional, y la luz va directamente. Debido a esto podemos decir que el universo es plano, como por los resultados de WMAP.

No hay ninguna razón para suponer que una curvatura constante plazo $k$. Suponiendo una curvatura constante plazo es la equivocada suposición. Y seamos sinceros, dos de cada tres "formas" del universo" que siempre iban a estar equivocado:

_{Imagen de dominio público de la cortesía de la NASA}

En mi humilde opinión el universo es plano, era plana mil millones de años, y mil millones de años antes de eso. Siempre ha sido plana, y lo será siempre.