Demostrar que implica de que $\sup_n \mathbb{E}(|S_n|)<\infty$ $\mathbb{E} \left( \sup_n |S_n| \right)<\infty$ $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ con $X_k$ iid

Question

Que $S_n=\sum^n_{k=1}X_k$, y %#% de #% son mutuamente independientes. Supongamos que son integrables, $X_k$ y $X_k$. Mostrar que $\sup_nE|S_n|<\infty$.

He mostrado la desigualdad de Ottaviani:

$E(\sup_n|S_n|)<\infty$.

Creo que esto debería ser útil, sin embargo, no sé cómo.

Answer 1

Por la desigualdad de triángulo,

$$\mathbb{P}(|S_n-S_k| > s) \leq \mathbb{P}(|S_k|>s/2) + \mathbb{P}(|S_n|>s/2).$$

La aplicación de Markov en la desigualdad de los rendimientos

$$\begin{align*} \max_{k \leq n} \mathbb{P}(|S_n-S_k|>s) \leq 2 \max_{k \leq n} \mathbb{P}(|S_k|>s/2) \leq \frac{4}{s} \max_{k \leq n} \mathbb{E}(|S_k|). \end{align*}$$

Si elegimos $s_0$ suficientemente grande, entonces tenemos para todos los $s \geq s_0$

$$\begin{align*}\max_{k \leq n} \mathbb{P}(|S_n-S_k|>s)&\leq \max_{k \leq n} \mathbb{P}(|S_n-S_k|>s_0) \\ &\leq \frac{4}{s_0} \sup_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{E}(|S_n|) =: c<1. \tag{1} \end{align*}$$

El uso de $(1)$ y Ottaviani la desigualdad de $s=t$, nos encontramos con

$$\mathbb{P} \left( \max_{k \leq n} |S_k| \geq 2s \right) \leq \mathbb{P}(|S_n| \geq s) + c \mathbb{P} \left( \max_{k \leq n} |S_k| \geq 2s \right),$$

es decir (como $c \in (0,1)$),

$$\mathbb{P} \left( \max_{k \leq n} |S_k| \geq 2s \right) \leq \frac{1}{1-c} \mathbb{P}(|S_n| \geq s). \tag{2}$$

Tenga en cuenta que esta desigualdad se cumple para todos los $s \geq s_0$ y todos los $n \in \mathbb{N}$. Ahora recuerdo que

$$\mathbb{E}(X) = \int_0^{\infty} \mathbb{P}(X \geq r) \, dr \tag{3}$$

se cumple para cualquier valor no negativo variable aleatoria $X$. La combinación de esta identidad con $(2)$, obtenemos

$$\begin{align*} \mathbb{E} \left( \max_{k \leq n} |S_k| \right) &\stackrel{(3)}{=} \int_0^{\infty} \mathbb{P} \left( \max_{k \leq n} |S_k| \geq r \right) \, dr \\ &\stackrel{(2)}{\leq} 2s_0 + \frac{1}{1-c} \int_{2s_0}^{\infty} \mathbb{P}(|S_n| \geq r/2) \, dr \\ &\stackrel{(3)}{\leq} 2s_0 + \frac{2}{1-c} \mathbb{E}(|S_n|). \tag{4} \end{align*}$$

Finalmente, por el teorema de convergencia monótona,

$$\mathbb{E} \left( \sup_{n \in \mathbb{N}} |S_n| \right) = \sup_{n \in\mathbb{N}} \mathbb{E} \left( \max_{k \leq n} |S_k| \right) \stackrel{(4)}{\leq} 2s_0 + \frac{2}{1-c} \sup_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{E}(|S_n|) < \infty.$$